18、常见概率分布及其应用

常见概率分布及其应用

1. 均匀概率分布

1.1 定义

若随机变量 (X) 的概率密度函数为：
[
P_X(x) = (b - a)^{-1}I(x \in (a, b)) =
\begin{cases}
(b - a)^{-1}, & \text{for } x \in (a, b) \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
其中 (b > a)，则称 (X) 在区间 ((a, b)) 上服从均匀分布。(X) 所有可能取值的集合为区间 ((a, b))，且 (X) 属于区间 ((c, d) \subseteq (a, b)) 的概率为 (\frac{d - c}{b - a})，与区间长度成正比。其概率密度函数在区间 ((a, b)) 上为常数。

1.2 均值、二阶矩和方差

• 均值：(E{X} = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} dx = \frac{a + b}{2})
• 二阶矩：(E{X^2} = \int_{a}^{b} \frac{x^2}{b - a} dx = \frac{a^2 + ab + b^2}{3})
• 方差：可根据公式 (Var(X) = E{X^2} - (E{X})^2) 计算。

1.3 应用示例

在计算中，将数字四舍五入到 (D) 位小数时产生的误差可近似看作在 ([-10^{-D}/2, 10^{-D}/2]) 上均匀分布的随机变量。