Q4 Median of Two Sorted Arrays 两个有序数组的中位数

最新推荐文章于 2024-12-31 16:25:43 发布

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本文介绍了一种高效算法，用于找出两个已排序数组的中位数，整体运行复杂度为O(log(m+n))。该算法巧妙地利用了二分查找的思想，通过递归划分并比较数组元素来定位中位数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Example 1:

nums1 = [1, 3]

nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]

nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

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思路：

首先来定义一些符号。我们将输入的两个数组表示为a, b，并假定它们的元素个数分别为m, n . 其中，表示a数组的第i个元素，表示b数组的第i个元素。

然后，我们要先做一些假设，做这些假设是为了方便思考。（对于不符合这些假设的情况，我们将在后面进行处理）。

假设1：中位数出自数组a，并假定此中位数为 . (事实上，中位数有可能出自数组a，也有可能出自数组b )。

假设2：m+n为奇数

假设3：在中位数的两端，都既有a数组的元素也有b数组的元素

此时情况如下图所示：

其中，

（式 1）

（式2）

由于是中位数，所以两边的元素个数应该是相等的，即：

化简，得：

（式3）

注意，y与x的大小是反相关的。

至此，问题便转化为：利用数组的有序性，找出满足式1、式2、式3 的

对于某个x，通过式3，y的值可以唯一确定（通过式3确定出来的y的实际意义是：当正好插入到后面时，两边的元素个数正好相等）

1.如果这组x，y也满足式2，则此便是所求的中位数；

2.如果，则说明如果按照大小排序，应当插入到的前方。这意味着，左边的元素个数就会少于右边的元素个数。即当前的太小了，亦即x太小了，所以需要在 [ x+1, r ] 的范围内继续搜索；

3.如果，则说明如果按照大小排序，应当插入到的后方。这意味着，左边的元素个数就会多于右边的元素个数。即当前的太大了，亦即x太大了，所以需要在 [ l, x-1 ] 的范围内继续搜索；

通过上述描述，写出二分查找就很容易了。

接下来，我们对不满足三个假设的情况进行处理。

1.首先看假设1，对于中位数出自b的情况，其实很容易处理：如果在a中没有找到中位数，只需要将两个数组反着传入函数调用一次，在b中再找一遍就好了；

2.对于假设2，也比较好处理。我们假设为处于前面的那个中位数。此时左边的元素比右边少一个，列出等式，化简，易得：。找到符合条件的后，即为所求；

3.对于假设3，处理起来就有些麻烦了。其麻烦之处在于，通过式3求出来的y值可能不在[0,n-1]的值域里。针对落在不同的区域内的y的情况，我们需要分类讨论。

1）当时，左边b元素的个数为负，无实际意义，说明x太大了，因此需要在[ l, x-1 ] 的范围内继续搜索

2）当时，左边b元素的个数为0，有实际意义。此时式2弱化为。

I）如果，则即为所求；

II）如果，则x太大了，应该在[ l, x-1 ]的范围内继续搜索；

3）当时，

I）如果这组x，y也满足式2，则此便是所求的中位数；

II）如果，则说明如果按照大小排序，应当插入到的前方。这意味着，左边的元素个数就会少于右边的元素个数。即当前的太小了，亦即x太小了，所以需要在 [ x+1, r ] 的范围内继续搜索；

III）如果，则说明如果按照大小排序，应当插入到的后方。这意味着，左边的元素个数就会多于右边的元素个数。即当前的太大了，亦即x太大了，所以需要在 [ l, x-1 ] 的范围内继续搜索；

4）当时，右边b元素的个数为负，无实际意义。说明x太小了，所以需要在 [ x+1, r ] 的范围内继续搜索。

我们对上述条件进行合并和化简，得：

If （） || （ && ）时，在 [ l, x-1 ] 的范围内继续搜索；

If （ &&）|| （），在 [ x+1, r ] 的范围内继续搜索

Else,

If为奇数，返回

If为偶数，返回（这里由于有x+1和y+1这种写法，因此下标有可能越界，在代码中可以看到我对越界的情况进行了处理）

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代码：

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        Double rst = findMedium(nums1, nums2);
        if(rst != null) return rst;
        return findMedium(nums2, nums1);
    }
    
    private Double findMedium(int[] a, int[] b) {
    	int m = a.length, n = b.length;
    	boolean isOdd = ((m + n) % 2 == 1);
        int l = 0, r = m - 1;
        while( l <= r ) {
            int x = (l+r)/2;
            int y;
            if(isOdd) y = (m + n - 3 - 2*x) / 2;
            else y = (m + n - 4 - 2*x) / 2;
            if((y>=0 && y <= n-1 && a[x] < b[y]) || y > n - 1) {  // right
                l = x + 1;
            }else if((y<=-2) || (y>=-1 && y<n-1 && a[x] > b[y+1])) {  //left
                r = x - 1;
            }else {  //return answer
                if(isOdd) return (double) a[x];
                else {
                    return (double)(a[x] + Math.min(
                            x+1<=m-1?a[x+1]:Integer.MAX_VALUE, 
                            y+1<=n-1?b[y+1]:Integer.MAX_VALUE)) / 2;
                }
            }
        }
    	return null;
    }
}