树
不包含圈的图称为无圈图(acyclic graph);连通的无圈图称为树(tree),常用字母T表示
一个无圈图也称为森林(forest),树也是森林。在一棵树中,度数为1的顶点称为树叶(leaf),度数大于1的顶点称为分支点.
树有许多等价的定义:
设无向图G(V,E)=(V,E)的顶点数为n,边数为m,则下列命题等价:
(1)G是树;
(2)G中任意两顶点间有且仅有一条路相连;
(3)G是连通的,且m=n-1;
(4)G中无圈,且m=n-1;
(5)G中无圈,但在G中任意不相邻的两顶点间增加一条边,就得到唯一一个圈
由k棵树组成的森林满足:m=n-k,其中n为G的顶点数,m为G的边数。
一棵阶大于或等于2的树至少有两片树叶
下面是一些6个顶点的树:
它们中的任意组合都构成森林。
支撑树
设T是图G的一个支撑子图,如果T是一棵树,则称它为图G的一棵支撑树;若T为森林,则称它为G的支撑森林(spanning forest)。
例1:连通图和其支撑子图: