POJ 1019 Number Sequence (数学+预处理 循环递增序列第k位数字)

题目链接

http://poj.org/problem?id=1019

题目大意

有一串数字串，其规律为
1 12 123 1234 12345 123456 1234567 12345678 123456789 12345678910 1234567891011 123456789101112······k
输入位置n，计算这一串数字第n位是什么数字。

分析

大致思路就是将这一串数按循环节分组，确定第n位数组出现在第几组，在那一组中有处在第几个位置，然后确定那位数是多少。
要确定这些东西，就需要预处理，用a[i]记录第i组序列的总位数，用s[i]记录前i组序列的总位数。这里记录一个重要的数学技巧，求一个数的位数可以用公式(int)log10((double)i)+1。
当确定第n位数在第x组序列时，我们需去除其后面多余的数，再取出该位数，这部分详见代码。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#define LL long long int
#define MAXN 40000
using namespace std;
LL a[MAXN],s[MAXN];
void Init()//预处理打表
{
    a[1]=s[1]=1;
    for (int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        a[i]=a[i-1]+(int)log10((double)i)+1;
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    }
}
int Count(int n)
{
    int i=1,pos,len;
    while (s[i]<n)   //确定第n位在哪一组
        i++;
    pos=n-s[i-1];   //确定第n位在自己组里面的位置
    len=0;
    for (i=1;len<pos;i++)
        len+=(int)log10((double)i)+1;
    return (i-1)/(int)pow((double)10,len-pos)%10;
    //之所以i-1，是因为前面寻找第i组长度时，i++多执行了一次  
           //i=i-1 此时i刚好等于第n位个置上的数 （数是整体，例如123一百二十三，i刚好等于123，但n指向的可能是1，2或3）  
           //pos为n指向的数字在第i组中的下标值  
           //len为第i组的长度  
           //那么len-pos就是第i组中pos位置后多余的数字位数  
           //则若要取出pos位上的数字，就要利用(i-1)/pow(10,len-pos)先删除pos后多余的数字  
           //再对剩下的数字取模，就可以得到pos  
           //例如要取出1234的2，那么多余的位数有2位：34。那么用1234 / 10^2，得到12，再对12取模10，就得到2  
}
int main()
{
    int t,n;
    Init();
    cin>>t;
    while (t--)
    {
        cin>>n;
        cout<<Count(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

在这道题的DISCUSS中，看见一份用二分low_bound函数实现的代码，觉得也写得十分巧妙，因此也记录一下这种解法。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
unsigned group[40000], sum[40000];//题目中给的最大数据一定不会超过40000组（粗略） 
int main()
{
    int t, i, j, k, n, ans; 
    char s[10];
    scanf("%d", &t);
    group[0] = 0, sum[0] = 0;
    for( j=1; j<40000; j++)
    {
        group[j] += group[j-1] + 1 + (j/10 > 0) + (j/100 > 0) + (j/1000 > 0) + (j/10000 > 0);//递推计算第j组里有几个数字 
        sum[j] = sum[j-1] + group[j];//计算前j组数字个数之和 
    }
    while( t-- )
    {
        scanf("%d", &i);
        k = lower_bound(sum, sum+40000, i) - sum;//计算第i个数位于哪个组 
        n = i - sum[k-1];//计算该数位于该组中的第几个位置 
        k = lower_bound(group, group+40000, n) - group;//找到位于哪个数中 
        n -= group[k-1];//该数的第几个位置 
        sprintf(s, "%d", k);//转化为字符形式，方便查找 
        ans = s[n-1] - '0';
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}