ZOJ - 3822 Domination （2014 牡丹江）概率dp-优快云博客

本文详细解析了一道2014年牡丹江区域赛的铜牌题，通过三维动态规划算法求解在n×m的方格中放置石子，使每行每列均有石子的期望数量。介绍了从概率分布出发，逐步推导出转移方程的过程。

2014牡丹江区域赛的铜牌题，然而我想了好久都没想出转移方程……希望这个月的区域赛能搞到一个牌子吧

n×m的方格，在这些方格里放石子，求使得方格的每行每列都有石子的期望个数。
首先很容易想到先求出取k个石子的概率，然后根据公式求期望。
开始想用三维 dp[n][m][k] 表示到第n行m列为止放k个石子的概率，结果递推式怎么也推不出来，后来看了题解才知道，dp[n][m][k] 表示的是k个石子占据n行m列的概率，然后递推式就好说了。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 60;
double dp[N][N][N*N];
int n,m;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1][1][1] = 1;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int k = 1; k <= n*m; k++)
        {
            for(int i = 1; i <= n; i++)
            {
                for(int j = 1; j <= m; j++)
                {
                    dp[i+1][j][k+1] += dp[i][j][k] * ((n-i)*j*1.0)/(n*m-k);
                    dp[i][j+1][k+1] += dp[i][j][k] * ((m-j)*i*1.0)/(n*m-k);
                    dp[i+1][j+1][k+1] += dp[i][j][k] * (n-i)*(m-j)*1.0/(n*m-k);
                    dp[i][j][k+1] += dp[i][j][k]* (i*j-k)*1.0/(n*m-k);
                }
            }
        }
        double ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n*m; i++)
        {
            ans += (dp[n][m][i]-dp[n][m][i-1]) * i;
        }
        printf("%.12f\n",ans);
    }
    return 0;
}