面试题里的数学证明题

1.任意给一个数N，试证明这个数的某个倍数的十进制表示是01串，比如3的倍数111是二进制表示，5的倍数10是二进制表示

证明：

    取N个不同的正十进制数N1,N2,N3...Nn（每个数的每位数上均为1，比如1，111，1111等）。

   将每个数对N取模（MOD N），得余数M1,M2,M3...Mn

     若M里有数为0，则得证

     若M中无值为0，而已知对N求模，余数最多有N-1个，这与所得N个余数矛盾

           所以，N个余数里至少有2个数相同，设为第i和第j个（i!=j），且余数设为a

           则，Ni = ki*N+a  ;  Nj = kj*N+a ( kj > ki)

           则，Nj - Ni =(kj - ki)*N。而容易看出，Nj - Nj必为二进制表示的十进制数

          得证

2. 试证明素数有无穷多个

证明：

  假设素数是有限个的，所有素数的集合为Pset，且size(Pset)为N，升序列分别为：

  P1,P2,P3....Pn

  构造新数M =P1*P2*P3...Pn+1

   若M是素数，由于M > Pn，这与Pn是最大素数矛盾；

   若M是合数，由于“一个合数可以拆分为一组素数的乘积，并且只可以拆分为一组素数的乘积”，

       设M可被某一素数p整除

       又由于P1到Pn均无法整除M（余数1）

       所以 素数p 不属于Pset，这与Pset包含了所有的素数这一假设矛盾

  所以假设不成立。

  得证