《An Introduction to Signal Smoothing》译文

最近在做数据平滑相关的工作，正好读到该篇博客，感觉不错，就翻译了一下。原链接：An Introduction to Signal Smoothing

信号平滑简介

噪声无处不在，不管是在采集手机游戏的加速度数据还是在测量房间的温度，都会引入误差。即使我们有能力消除所有的误差，测量的结果依旧包含一定程度的不确定性。假如玩家随意点击了一下手机屏幕，他们到底想点击哪里是不确定的。所有这些问题都强迫我们重新思考数据的采集和预处理。

1. 简介

滤波器是寻找产生观测数据最可能信号的数学工具。它可以对渗透进传感器的噪声和不确定性进行消除。当前的各种设备，如触屏、游戏手柄、手机和游戏控制器等都是通过传感器采集用户的输入，所以这些设备都不可避免地会引入噪声。所以滤波器在用户体验上扮演着非常重要的角色。
本博客会介绍关于平滑滤波器的基本知识。将这些知识应用到游戏中会极大提升游戏体验。

2. 噪声信号

用一个简单例子来解释噪声是如何干扰信号的。假设一个传感器每隔固定时间采样一下数据，在时刻i产生观测值$S_i$。如果你是游戏开发者，这个传感器很可能是一个控制器，得到的数据可能为：Input.GetAxis("Vertical")。如果你是一个电子工程师，这个传感器可能是电位计，用来测量电压： analogRead(3)。这些时间序列都有一个共同点：都被噪声干扰。下图展示了一个被噪声污染的信号：

在这个例子中，噪声被人工添加到原始信号中。针对原始信号的每一个点$S_i$加上一个随机值：

$$n_i=S_i+rand()$$
如果满足上面的条件，我们就说噪声是满足可加性的，并且是均匀分布的。这时添加的噪声就独立于原始信号。满足可加性的一致性噪声通常来源于固定的外部干扰。

3. 滑动平均（Moving Average）

是否能重构被噪声污染的信号呢？答案是：看情况。这依赖于噪声的类型和幅度。减弱噪声的最简单方法被称为滑动平均。该方法基于这样一个假设：独立的噪声不会改变信号的基本结构。如果假设成立，则求几个连续点的平均值就可以减弱噪声。正如其名字所表示的，滑动平均就是求给定点和其邻居的平均值作为信号值。例如，我们对三个点求平均值，则过滤之后的信号为：

$$F_i= \dfrac{N_{i-1}+N_i+N_{i+1}}{3}$$
当获得所有的观测值之后，我们可以定义窗口大小为N=2K+1的滑动平均为：
$$F_i= \dfrac{1}{N}\sum_{j=-k}^{+k}S_{i-j}$$
在下图中，用窗口大小为6的滑动平均对上图的信号进行处理：

可以看出，原始信号几乎被完整地恢复出来。如果你是开发者，可以用下面的代码实现上述过滤：

public float [] MovingAverage (float [] data, int size)
{
    float [] filter = new float [data.length];
    for (int i = points/2; i < data.length-points/2; i++)
    {
        float mean = 0;
        for (var j = -points/2; j < points/2; j++)
            mean += data[i + j];

        filter[i] = mean / size;
    }
    return filter;
}

增加窗长可以进一步减弱噪声的影响，但同时也会使原始信号过度平滑。滑动平均特别适合于连续和平稳的信号。如果信号变化较为剧烈，滑动平均可能会使原始信号的变化大于噪声的消除（也即功不抵过）。

上图中，虽然滑动平均减小了信号的变化程度，但是完美地重构了信号的线性部分。当我们在处理包含可加性噪声的线性信号时，滑动平均是最好的选择。当然，上面的例子也过于理想化，在实际中很难出现。

4. 中心化的滑动平均

上面介绍的滑动平均有个限制：窗口长度N必须为奇数。这样计算的平均值就满足对称性。假如窗口长度N=2k为偶数，此时我们有两种平滑方法（假定k=2）：

$$MA_4^L= \dfrac{N_{i-2}+N_{i-1}+N_i+N_{i+1}}{4}$$
$$MA_4^R= \dfrac{N_{i-1}+N_i+N_{i+1}+N_{i+2}}{4}$$
上述两个公式都是合法的，没有特别的偏向性。所以我们可以对这两个公式求平均值，获得一个中心化的滑动平均，这通常被称为2×4MA。
$$2×4MA = \dfrac{1}{2} [\dfrac{1}{4}(N_{i-2}+N_{i-1}+N_i+N_{i+1})+\dfrac{1}{4}(N_{i-1}+N_i+N_{i+1}+N_{i+2})]$$
$$=\dfrac{N_{i-2}}{8}+\dfrac{N_{i-1}}{4}+\dfrac{N_{i}}{4}+\dfrac{N_{i+1}}{4}+\dfrac{N_{i+2}}{8}$$
上面的结果特别像以 $N_i$为中心的滑动平均，但是和前面介绍的滑动平均还是不同的。

5. 加权滑动平均

滑动平均中每个点的权重是相同的，一个更加合理的选择是对靠近$S_i$的点赋予更大的权重，这就是加权滑动平均：

$$F_i= \sum_{j=-k}^{+k}S_{i-j} W_{k+j}$$
$W_j$的和必须等于1。
针对加权滑动平均，可以对前面的滑动平均代码进行下面的修改：

 for (var j = -points/2; j < points/2; j++)
            mean += data[i + j] * weights[j+points/2];

回过头来重看中心化的滑动平均，我们就可以说2×4MA其实就是权重为1/8,1/4,1/4,1/4,1/8的加权滑动平均。
加权的方法不可思议得有效，但是引入了更多的参数。如果你对泛函分析很了解，可能很容易将上面的操作联想到卷积操作符上。通过仔细地挑选权重可以带来很多有趣的性质，例如实现边缘检测或者高斯模糊等。
举一个边缘检测的例子，我们对一个方波执行墨西哥帽小波的卷积操作，需要做的就是将权重设置为下述函数上的点：

$$f(t)=(1-t^2)e^\dfrac{-t^2}{2}$$
然后代码修改成：

float[] kernel = new float[10];
for (int i = 0; i <= kernel.length; t ++)
{
    float t = i +4;
    kernel[i] = (1-(t*t)) * Math.exp(-(t*t)/2);
}

上述卷积函数可以用来进行边缘检测。如果你是一个游戏开发者，上述方法可以用来检测玩家的突然移动，这通常是运动检测的第一步。

6. 结论

本博客介绍了信号中的噪声问题以及两种解决方法。需要记住一点，没有一种方法是完美的，每个方法都有其优缺点，我们需要知道它们的适用范围。