文章探讨了Z变换在分析系统性质时的作用，包括幅频特性和因果稳定性。极点位置决定了系统的稳定性，因果系统要求极点位于单位圆内。零点则影响幅频特性的极小值。逆系统的极点与原系统零点互换，而最小相位系统的所有零点都在单位圆内。全通系统中极点和零点成共轭对称。线性相位的FIR系统，其零点关于实轴和单位圆对称，且根据在z=1和z=-1处的零点数量分为四种类型。
系统性质与z变换零极点分布讨论
Author： Sijin Yu
幅频特性
H ( z ) H(z) H(z) 极点对应的角频率有 ∣ H ( e j ω ) ∣ |H(e^{j\omega})| ∣H(ejω)∣ 极大值
H ( z ) H(z) H(z) 零点对应的角频率有 ∣ H ( e j ω ) ∣ |H(e^{j\omega})| ∣H(ejω)∣ 极小值
因果稳定性 (极点)
因果 (右边序列): 收敛域在 H ( z ) H(z) H(z) 最外的极点之外
反因果 (左边序列): 收敛域在 H ( z ) H(z) H(z) 最内的极点之内
稳定: 收敛域包含单位圆
因果稳定 (物理可实现): H ( z ) H(z) H(z) 所有极点都在单位圆内
逆系统
H ( z ) H(z) H(z) 的极点是 H − 1 ( z ) H^{-1}(z) H−1(z) 的零点
H ( z ) H(z) H(z) 的零点是 H − 1 ( z ) H^{-1}(z) H−1(z) 的极点
最小相位与最大相位 (零点)
最小相位: H ( z ) H(z) H(z) 所有零点都在单位圆内
最大相位: H ( z ) H(z) H(z) 所有零点都在单位圆外
要使 H ( z ) H(z) H(z) 的逆系统物理可实现, H ( z ) H(z) H(z) 必须为最小相位系统
全通系统
H ( z ) H(z) H(z) 的每个极点都必有一个互为共轭对称的零点
若 z = r e j ϕ z=re^{j\phi} z=rejϕ 为极点, 则必有一个零点: z = 1 r e − j ϕ z=\frac1re^{-j\phi} z=r1e−jϕ
线性相位的FIR系统 (零点)
所有零点关于实轴对称, 关于单位圆对称 (零点总是以4个为一组存在的, 实轴或单位圆上的零点成对存在)
关于 z = 1 z=1 z=1 和 z = − 1 z=-1 z=−1 处的零点:
I型序列 z = 1 z=1 z=1 有偶数个零点, z = − 1 z=-1 z=−1 有偶数个零点
II型序列 z = 1 z=1 z=1 有偶数个零点, z = − 1 z=-1 z=−1 有奇数个零点
III型序列 z = 1 z=1 z=1 有奇数个零点, z = − 1 z=-1 z=−1 有奇数个零点
IV型序列 z = 1 z=1 z=1 有奇数个零点, z = − 1 z=-1 z=−1 有偶数个零点
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