acwing 1358. 约数个数和(莫比乌斯函数)

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#算法

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本文介绍了一种计算整数N和M的每个整数i的约数个数d(i)之积的算法，基于数论中的因子分解和欧拉函数，使用C++实现。

设 d(x)�(�) 为 x� 的约数个数，给定 N,M�,�，求

∑i=1N∑j=1Md(ij)∑�=1�∑�=1��(��)

输入格式

输入多组测试数据。

第一行，一个整数 T�，表示测试数据的组数。

接下来的 T� 行，每行两个整数 N、M�、�。

输出格式

T� 行，每行一个整数，表示你所求的答案。

数据范围

1≤N,M,T≤500001≤�,�,�≤50000

输入样例：

2
7 4
5 6

输出样例：

110
121

思路：

推导比较麻烦；

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int N = 50000+100;
#define LL long long
int pre[N], mu[N],st[N],h[N];
int n,cn,m;
long long res;
int g(int l, int k)
{
if (k / l == 0) return n;
return k / (k / l);
}
void into()
{
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
if (!st[i]) pre[++cn] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 1; pre[j] * i <= N&&j<=cn; j++)
{
st[pre[j] * i] = 1;
if (i % pre[j] == 0) break;
mu[i*pre[j]] = -mu[i];
}
}
for (int i = 1; i <= N; i++)
mu[i] += mu[i - 1];
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for (int l = 1,r;l <= i; l = r + 1)
{
r = min(i, g(l, i));
h[i] += (r - l + 1) * (i / l);
}
}
}
long long f(int a, int b)
{
res = 0;
n = min(a, b);
for (int l = 1,r; l <=n; l=r+1)
{
r = min(n, min(g(l, a), g(l, b)));
res += (long long )(mu[r] - mu[l - 1]) * h[a / l] * h[b / l];
}
return res;
}
int main()
{
into();
int T;
cin >> T;
while (T--)
{
cin >> n >> m;
cout << f(n, m) << endl;
}
return 0;
}