[排序] 希尔排序(Python)

思想

希尔排序(Shell)是直接插入排序的优化版本，实现了时间复杂度突破$O(n^2)$，策略在于不断分组并在组内进行直接插入排序。那么如何分组呢？这里提出一个概念——增量序列，希尔增量$\{n/2,n/4,...,1\}(n 为序列长度)$就是一种增量序列，增量序列里的元素称为gap。我们依次把序列分为$n/2$组，$n/4$组，…，1组，即不断缩小gap，不断分组并排序，最终使序列有序。因为希尔排序涉及分组和直接插入排序，元素的前后顺序可能发生改变，所以是不稳定的排序。

示例

对序列[7,6,4,3,1,2,8,5]按升序排列。

gap	分组	组内排序过程	排序结果
4	[7,1],[6,2],[4,8],[3,5]	[1,7],[2,6],[4,8],[3,5]	[1,2,4,3,7,6,8,5]
2	[1,4,7,8],[2,3,6,5]	[1,4,7,8],[2,3,5,6]	[1,2,4,3,7,5,8,6]
1	[1,2,4,3,7,5,8,6]	[1,2,3,4,5,6,7,8]	[1,2,3,4,5,6,7,8]

代码

class Solution:
    # @param {int[]} A an integer array
    # @return nothing
    def swap(self, A, i, j):
        tmp = A[j]
        A[j] = A[i]
        A[i] = tmp

    # 交换法进行插入排序
    def sortIntegers(self, A):
        # Write your code here
        if len(A) <= 1:
            return
        gap = len(A) / 2
        while gap > 0:
            for i in range(gap, len(A)):
                j = i
                while j - gap >= 0 and A[j] < A[j - gap]:
                    # 交换法进行插入排序
                    self.swap(A, j, j - gap)
                    j -= gap
            gap /= 2

    # 移动法进行插入排序
    def sortIntegers1(self, A):
        # Write your code here
        if len(A) <= 1:
            return
        gap = len(A) / 2
        while gap > 0:
            for i in range(gap, len(A)):
                j = i
                if A[j] < A[j - gap]:
                    tmp = A[j]
                    while j - gap >= 0 and tmp < A[j - gap]:
                        # 移动法进行插入排序
                        A[j] = A[j - gap]
                        j -= gap
                    A[j] = tmp
            gap /= 2

时间复杂度

希尔排序的时间复杂度和增量序列有关，希尔增量时间复杂度为$O(n^2)$，Hibbard增量时间复杂度为$O(n^{3/2})$。