A*算法解决八数码问题时，第N步的解空间是多少？

我们在解决八数码问题是，会关心一个解空间的问题，比如我们进行了27步操作时，当前状态有多少可能的方案呢？
统计解空间的大小，有助于我们更好的优化算法。

---

1. 我们可以利用广度优先策略，来统计第N步的可能方案。
2. 利用hash表来存储可行方案，从而剔除重复方案。
3. 利用回溯的方式，从第N步开始往起点回退，能回退到起点的方案就是可能性方案，记录该方案。

---

下面就是我们统计八数码问题进行到第27步以后，统计解空间大小的代码：

#include <iostream>
#include <set>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

//向四个方向生成新的方案
int x_axis[] = {-1,  0, 0, 1};
int y_axis[] = { 0, -1, 1, 0};

/**
 *generate函数：生成新的一层解决方案
 *
 *@param queue<vector<int>> myqueue, set<vector<int>> myset;
 */
void generate(queue<vector<int> > &nodes, set<vector<int> > &states)
{
  //拓展已经经过的所有节点
  vector<int> layer;
  //使用空的向量来区分不同层的树枝
  nodes.push(layer);

  //拓展当前层的所有节点
  while(nodes.front().size() != 0)
  {
    vector<int> current = nodes.front();

    //拓展当前节点
    //寻找0的位置
    int px;
    int py;

    for(int i = 0; i < 9; ++i)
    {
      if(current[i] == 0)
      {
        px = i / 3;
        py = i % 3;
      }
    }
    //想四个方向拓展，首先得判断能否拓展
    for(int i = 0; i < 4; i++)
    {
      if(px+x_axis[i] >= 0 && px+x_axis[i] < 3 &&
         py+y_axis[i] >= 0 && py+y_axis[i] < 3)
      {
        vector<int> fresh = current;
        fresh[px*3+py] = fresh[(px+x_axis[i])*3+(py+y_axis[i])];
        fresh[(px+x_axis[i])*3+(py+y_axis[i])] = 0;

        //在哈希表中寻找新生成的节点是否已经出现过，如果出现过就抛弃。
        if(states.find(fresh) == states.end())
        {
          states.insert(fresh);
          nodes.push(fresh);
        }
      }
    }
    //将已经遍历的点推出队列
    nodes.pop();
  }
  //将队列中标识分层的空向量删除掉
  nodes.pop();

  //清空哈希表
  //states.clear();

  cout<<nodes.size()<<endl;

  return;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
  //构造目标状态的数据
  vector<int> goal;

  for(int i = 0; i < 9; ++i)
  {
    goal.push_back(i);
  }

  //给定循环的次数
  int times = 27;

  //初始化队列和哈希表
  queue<vector<int> > nodes;
  set<vector<int> > states;

  nodes.push(goal);
  states.insert(goal);

  while(times--)
  {
    generate(nodes, states);
  }

  //输出哈希表的大小
  cout<<"搜索空间大小为："<<nodes.size()<<endl;

  return 0;
}