给定整数区间[A,B]问其中有多少个完全平方数

好久没有做做小的算法题了,前几天刚好看到一道题,于是就想尝试一下,下面的内容就是对这道题的总结和思考。

下面是题目的具体描述:


题目详情

给定整数区间[A,B]问其中有多少个完全平方数。

输入格式:

多组数据,包含两个正整数A,B 1<=A<=B<=2000000000。

输出格式:

每组数据输出一行包含一个整数,表示闭区间[A,B]中包含的完全平方数的个数。
答题说明

输入样例

1 1

1 2

3 10

3 3

输出样例:

1

1

2

0

      看到这个题目的第一反应就是遍历A~B之间的所有数字,然后判断这些数字是不是完全平方数,判断这些数字是不是完全平方数的方法就是对这些数字开平方,求其平方根,获得平方根的整数部分,然后将这个整数部分再平方,判断平方之后的结果是否是当前数字,如果这个数字不是平方数,就不相等(因为舍弃了小数部分)。下面就是这种方法的具体C++代码:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char const *argv[]){
	
	int numA = 0;
	int numB = 0;
	double result = 0.0;
	// int count = 0;
	int temp = 0;
	// result = sqrt(numB);
	// numB = (int)result;
	// printf("%d %d\n", numA,numB);

	while(scanf("%d %d", &numA, &numB) != EOF){
		int count = 0;	
		for (int i = numA; i <= numB; ++i){
			result = sqrt(i);
			temp = (int)result;
			if (temp * temp == i){
				count++;
			} 
		}
		printf("%d\n", count);
	}
	// int num = 2000000000;
	return 0;
}

     但是我们发现,这种方法的效率太低,因为我们需要对[A,B]之间的所有数字都调用一次sqrt()函数,一次乘法操作,如果我们使用测试数据1 2000000000,会发现程序的执行时间相当长,我们是否可以不使用sqrt()函数,这样

的话我们就省略掉了函数调用的代价,我们可以从ceil( sqrt(numA) )(对numA求平方根然后向上取整)开始计算

i*i,判断i*i是否 < numB,如果在numB的范围内,那么这个数就是完全平方数。下面是相关的程序:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char const *argv[]){
	
	int numA = 0;
	int numB = 0;

	while(scanf("%d %d",&numA, &numB) != EOF ){
		int count = 0;
		for (int i = ceil( sqrt(numA) ) ; ; ++i){
			int result = i * i;
			if (result >= numA && result <= numB){
				count ++;
			}else if (result >numB){
				break;
			}
		}
		printf("%d\n", count);
	}
	return 0;
}

这种方法的执行效率明显就要比上一个方法快,我们只要执行一次函数调用,N次乘法操作即可。

但是有没有更好的方法呢?numA到numB之间的完全平方数是这个样子的:1 4 9 16 25 .........它们之间的距离不是1,

如果我们把这些完全平方数映射成距离为1的数列(1,2,3,4,5......),那么头减尾加一就是这个数列的长度,而这个长度就是完全平方数的个数,我们只需要计算头和尾元素的数值就可以了,再也不用迭代了,这就显著的节省了计算的

时间。下面是具体实现的代码:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char const *argv[]){
	
	int numA = 0;
	int numB = 0;

	while(scanf("%d %d",&numA, &numB) != EOF ){
		int count = 0;
		count = floor( sqrt(numB) ) - ceil( sqrt(numA) ) + 1;
		printf("%d\n",count);
	}
	return 0;
}
这个方法的代价就十分小了。

<think>好的,我需要解决这个题:用C语言编写一个函数,统计指定区间内三位数的完全平方数,并且这些数中有两位数字相同。首先,我得理解题要。 首先,三位数的范围是100到999完全平方数在这个区间内的平方根范围应该是从10到31,因为10²=100,31²=961,32²=1024就超过三位数了。所以,我可以先生成这些平方数。 接下来,需要检查每个平方数是否有恰好两位数字相同。比如144,它的数字是1、4、4,符合条件。而像121这样三位都相同的数应该排除,因为题目要两位相同,而不是三位。 如何分解数字呢?假设当前数是num,可以分解出百位、十位和个位。百位是num/100,十位是(num/10)%10,个位是num%10。然后比较这三个数字是否有两个相等且第三个不同。 例如,对于144: 百位k=1,十位p=4,个位l=4。检查条件:k==p吗?1≠4;k==l?1≠4;p==l?是的,所以符合条件。 那如何实现呢?可能需要在循环中遍历每个平方数,分解数字,然后检查三个可能的相等情况中的至少一种成立,但排除三个都相等的情况。比如,如果k==p且p==l,那么三个都相同,应该排除。所以条件应该是(k==p || p==l || k==l)这三个条件中至少有一个成立,但同时不能三个都成立。或者题目是否允许三个相同的情况?比如676是例子,但题目中的例子是144和676,其中676的数字是6、7、6,两个6,所以没题。但像121这样的数是否符合条件呢?它的三个数字都是1、2、1,这里两位相同,所以可能题目允许三位相同的也算,但题目描述中的例子没有这种情况。需要看题目要。根据用户提供的引用[3]中的例子,144和676都是三位数且两位相同,所以可能三位相同的数也算,例如121是否符合条件?需要确认。例如,如果题目中的条件是“恰好两位相同”,则三位相同的不算;如果是“至少两位相同”,则算。根据用户提供的引用中的题描述,题目要的是“有两位数字相同的完全平方数”,如144和676,所以可能允许三位相同的,比如121是否被包括。不过例子中没有,但根据题描述,三位数中有两位相同即可,所以三位相同的应该也算,因为三个相同的数字中至少有两个相同。比如,121两个1,所以符合条件。但需要看用户提供的代码示例如何处理。 查看用户提供的引用[5]中的代码,条件部分是: if((i==int(sqrt(i))*int(sqrt(i)))&&((k==l)||(p==l)||(k==p))) 这里,只要有两个相等的数字就满足条件,包括三个都相等的情况。例如,k==p且p==l的话,k==p和k==l都满足,所以会被包括。因此,题目允许三位相同的数,比如121会被统计。但根据题描述中的例子,可能用户希望排除三位相同的?或者题本身没有这个限制,只要至少两位相同即可。需要明确需。 现在假设题目要的是至少两位相同,不管第三位是否相同。比如,121满足,因为它有两位相同,所以会被包括。这种情况下,条件判断可以是只要三个数字中有至少两位相同即可。 那如何编写这个条件?可能的条件表达式是:(k == p) || (p == l) || (k == l)。如果这三个条件中有一个成立,则符合条件。这包括三个都相等的情况。 接下来,函数的结构。根据用户提供的引用[2]和[3],函数接口是int search(int n);,参数n是一个三位数,函数需要返回[101, n]区间内符合条件的数的个数。但用户提供的引用[5]中的代码是void fun(int m, int n),接受m和n作为区间的上下限。所以可能需要根据具体的函数接口来调整。 假设现在需要实现的函数是类似引用[5]中的,但可能题目需要的是从101到n的区间,其中n是一个三位数。因此,函数可能需要遍历从101到n的所有数,检查是否是平方数,并且满足两位数字相同的条件。 步骤总结: 1. 遍历区间内的每个数i,从101到n。 2. 检查i是否是完全平方数。可以通过计算平方根取整,再平方是否等于i来判断。例如,sqrt(i)整数部分为s,如果s*s == i,则是完全平方数。 3. 分解i的百位、十位、个位数字。 4. 检查是否有两位相同:即k==p,或p==l,或k==l。 5. 如果满足以上两个条件,计数加一。 但是,这样的方法可能效率不高,因为需要遍历每个数,并计算平方根。另一种方法是遍历可能的平方根,生成平方数,然后检查是否在区间内,并且是三位数,同时满足数字条件。 例如,平方根的范围是10到31,所以遍历s从10到31,计算s*s,如果这个结果在[101, n]的区间内,则检查该平方数是否有两位相同数字。 这可能更高效,因为只需要遍历32次(10到31),而三位数有900个数。所以这种方法更好。 因此,正确的步骤应该是: a. 确定s的范围:s的平方需要>=101且<=n。例如,s的最小是当s² >=101,所以s>=1111²=121),因为10²=100,可能不在区间内。但根据题中的引用[3],区间是[101, n],所以100可能被排除。因此,s的起始应为11,因为11²=121。但需要注意,当n较小时,比如n=120,s的范围可能只有1110(但此时无解)。需要正确计算s的范围。 但更准确的方法应该是: s的起始是ceil(sqrt(101)),即11,因为sqrt(101)10.05,取整为11?不,ceil(10.05)=11,但11²=121。因此,正确的起始s应该是floor(sqrt(m))的上界,其中m是下限,比如下限是101,sqrt(101)=10.05,所以s从11开始,直到s的平方超过n。 但根据题中的函数接口,假设函数search的参数是n,统计的区间是[101, n]。所以,s的范围应该是从11到floor(sqrt(n)),因为如果n>=121,则s可以到floor(sqrt(n))。例如,n=200,sqrt(200)14.14,所以s的范围是1114,因为14²=196<=200,15²=225>200。 然后,对于每个s,计算s²,判断该数是否是三位数(即>=100,但根据区间101到n,所以可能需要进一步检查),然后检查是否有两位相同的数字。 这样,函数的大体步骤为: 1. 初始化计数器count=0。 2. 计算s的最小值:s_start = ceil(sqrt(101))=11。 3. s_end = floor(sqrt(n))。注意n必须>=101,否则返回0。 4. 遍历s从s_start到s_end: a. num = s * s. b. 检查num是否在[101, n]区间内。可能不需要,因为s的起始和结束已经保证了这一点? 比如,s_start=11,num=121,此时如果n>=121,则num<=n。但如果n<121,则s_end可能小于s_start,导致循环不执行。 所以,应该先处理当n < 121时的情况,返回0。 5. 对每个num=s²,分解其百位、十位、个位。 6. 检查是否有两位相同的数字。 7. 如果满足条件,count++。 最后返回count。 接下来,如何分解数字? 假设num是一个三位数,例如121: 百位k = num / 100 → 1 十位p = (num % 100)/10(21)/10=2 个位l = num %101 则k=1,p=2,l=1。检查是否有两位相同:k==l →是,所以符合条件。 另一个例子:144 →k=1,p=4,l=4 →p==l,符合条件。 676 →k=6,p=7,l=6 →k==l →符合条件。 对于三位相同的数字如121,k==l成立,所以会被计数,但根据题描述中的示例,是否应该包含这种情况?根据题中的例子,题目中的例子包括144和676,都是两位相同的情况,但题描述并未排除三位相同的情况。所以只要存在两位相同即可,不管第三位是否不同或者相同。因此,三位相同的数应该被包括在内。例如,400(20²)的数字是4、0、0,符合条件。 所以,条件判断为(k == p) || (p == l) || (k == l)即可。 现在,将这些步骤转化为代码。 函数接口根据用户提供的引用[2]是int search(int n),参数n是一个三位数正整数,返回[101, n]区间内的符合条件的数的个数。 所以,代码的大致结构: #include <math.h> int search(int n) { int count = 0; int s_start = 11; // 11^2=121 int s_end = (int)sqrt(n); // 下取整 if (n < 121) { // 区间最小是101,但121是第一个可能的符合条件的数 return 0; } for (int s = s_start; s <= s_end; s++) { int num = s * s; if (num > n) { // 可能不需要,但确保num不超过n continue; } int k = num / 100; // 百位 int p = (num / 10) % 10; // 十位 int l = num % 10; // 个位 if (k == p || p == l || k == l) { count++; } } return count; } 需要注意,当n小于121时,比如n=120,此时s_end=sqrt(120)=10,而s_start=11,循环不会执行,返回0,这是正确的。 测试这个函数。例如,当n=144时: s的范围是1112(因为12²=144)。 s=11 →num=121 →分解为1,2,1 →k==l →count=1. s=12 →num=144 →分解为1,4,4 →p==l →count=2. 所以,返回2。正确吗?144和121是否都是符合条件的? 但根据题目中的例子,144和676是例子,所以当n=676时,s的范围是11到26(因为26²=676)。 需要检查更多的例子。 现在,用户提供的引用[5]中的代码似乎有错误。例如,在判断是否为完全平方数时,使用的是i == (int)sqrt(i) * (int)sqrt(i)。这可能有题,因为sqrt返回的是double,转换为int可能会因为浮点精度题出错。例如,当i=25,sqrt(25)=5.0,没题。但如果i是一个很大的数,sqrt可能会返回接近s但略小的数,取整后可能错误。因此,更可靠的方法是计算s的平方是否等于i。 但在此题中,由于我们遍历的是s的平方,所以生成的num肯定是完全平方数,所以不需要检查。因此,之前的优化方法是正确的,即遍历s,生成num=s²,从而保证num是完全平方数。这样就不需要再检查是否为平方数,节省了计算时间。 因此,正确的代码应该采用这种方法,而不是遍历每个数然后检查是否为平方数。因为这样更高效。 用户提供的引用[5]中的代码似乎采用了遍历区间中的每个数,然后检查是否是平方数。例如: for(i=m; i<=n; i++){ k=i/100; p=(i-k*100)/10; →可以写成 (i/10)%10。 l=i%10; if((i == (int)sqrt(i)*(int)sqrt(i)) && ... ) } 这种方法的题在于,对于每个i,都要计算sqrt(i),这可能效率较低,尤其是当区间很大时。而优化后的方法只需要遍历s的可能值,更高效。 因此,正确的实现应该采用生成平方数的方式,而不是逐个检查每个数是否为平方数。 现在,回到函数search的实现,正确的代码应该如之前所写。 另外,需要考虑参数n的可能值是否合法。根据引用[3],n是一个三位数的正整数。所以在函数中,可能需要先判断n是否>=101,否则返回0。例如,如果n=100,则区间是[101,100],无意义,所以返回0。 但根据函数接口,可能调用者保证传入的n是三位数。因此,函数内部可能不需要处理这种情况。 现在测试几个例子: 例1:n=121 →返回1,因为只有121。分解数字1,2,1 →k==l →符合条件。 例2:n=144 →返回2(121144)。 例3:n=100 →返回0,因为区间无效。 例4:n=676 →计算s从11到26。遍历这些s,生成平方数: s=11121 →符合条件. s=12 →144 →符合条件. s=13 →1691,6,9 →没有两位相同 →不计入。 s=14 →196 →1,9,6 →无。 s=15 →225 →2,2,5 →符合条件。 s=16 →256 →2,5,6 →无。 s=17 →289 →2,8,9 →无。 s=18 →324 →3,2,4 →无. s=19 →361 →3,6,1 →无. s=20 →400 →4,0,0 →符合条件. s=21 →441 →4,4,1 →符合条件. s=22 →484 →4,8,4 →符合条件. s=23 →529 →5,2,9 →无. s=24 →576 →5,7,6 →无. s=25 →625 →6,2,5 →无. s=26 →676 →6,7,6 →符合条件. 现在,计算符合条件的数目: 121, 144, 225, 400, 441, 484, 676 →共7个。 所以当n=676时,函数返回7。是否正确? 是的。这些数的数字情况: 12111 →两位相同。 144:4和4 →两位相同。 225:2和2 →两位相同. 400:0和0 →两位相同. 441:4和4 →两位相同. 484:4和4 →两位相同. 676:6和6 →两位相同. 所以总共有7个。因此,当n=676时,返回7。 所以,函数应该正确。 现在,代码中的题: 在代码中,s_end = (int)sqrt(n)。例如,n=676,sqrt(n)=26.0,所以s_end=26,正确。对于n=675,sqrt(675)=25.98… →(int)sqrt(675)=25,所以s的循环到25,其平方是625,在区间内。 但函数中的循环是s从11到s_end,包含s_end。因此,num = s*s <=n 是必然的,因为s_end是sqrt(n)取整,所以s_end² <=n,而(s_end+1)²>n。所以不需要额外的判断。 综上,函数的代码是正确的。</think>要实现在指定区间内统计三位数中满足以下条件的完全平方数的数量: 1. 是三位数 2.完全平方数 3. 至少包含两位相同的数字 ### 实现步骤 1. **确定平方根范围**:三位数的完全平方数范围为 $10^2=100$ 到 $31^2=961$。由于区间下限为101,有效平方根起始值为11($11^2=121$)。 2. **遍历平方根生成平方数**:对每个平方根 $s$ 计算 $s^2$,并检查是否在目标区间内。 3. **分解数字并验证条件**:将平方数分解为百位、十位、个位,判断是否有至少两位相同。 ### 代码实现 ```c #include <math.h> int search(int n) { int count = 0; // 计算有效的平方根范围 int s_start = 11; // 11^2=121 是第一个可能符合条件的数 int s_end = (int)sqrt(n); // 若n小于121则直接返回0 if (s_end < s_start) { return 0; } for (int s = s_start; s <= s_end; s++) { int num = s * s; // 分解数字 int hundred = num / 100; int ten = (num / 10) % 10; int unit = num % 10; // 检查是否有两位相同 if (hundred == ten || ten == unit || hundred == unit) { count++; } } return count; } ``` ### 示例说明 - **输入**:`n = 676` - **输出**:7 符合条件的数包括:12111)、144(4和4)、225(2和2)、400(0和0)、441(4和4)、484(4和4)、676(6和6)。 ### 算法分析 - **时间复杂度**:$O(1)$,最多遍历21次($s$ 从11到31)。 - **空间复杂度**:$O(1)$,仅使用固定变量。 ### 关键点 - **平方数生成**:通过遍历平方根直接生成平方数,避免逐个数判断。 - **数字分解**:通过整除和取余操作提取百位、十位、个位。 - **条件判断**:逻辑运算符组合判断任意两位相等的情况。 ### 注意事项 - **参数合法性**:函数假设传入的 `n` 是合法的三位数($n \geq 101$)。 - **浮点精度**:`sqrt(n)` 的取整需确保结果正确性。
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