给定整数区间[A,B]问其中有多少个完全平方数

好久没有做做小的算法题了，前几天刚好看到一道题，于是就想尝试一下，下面的内容就是对这道题的总结和思考。

下面是题目的具体描述：

题目详情

给定整数区间[A,B]问其中有多少个完全平方数。

输入格式：

多组数据，包含两个正整数A,B 1<=A<=B<=2000000000。

输出格式：

每组数据输出一行包含一个整数，表示闭区间[A,B]中包含的完全平方数的个数。
答题说明

输入样例

1 1

1 2

3 10

3 3

输出样例：

1

1

2

0

      看到这个题目的第一反应就是遍历A~B之间的所有数字，然后判断这些数字是不是完全平方数，判断这些数字是不是完全平方数的方法就是对这些数字开平方，求其平方根，获得平方根的整数部分，然后将这个整数部分再平方，判断平方之后的结果是否是当前数字，如果这个数字不是平方数，就不相等（因为舍弃了小数部分）。下面就是这种方法的具体C++代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char const *argv[]){
	
	int numA = 0;
	int numB = 0;
	double result = 0.0;
	// int count = 0;
	int temp = 0;
	// result = sqrt(numB);
	// numB = (int)result;
	// printf("%d %d\n", numA,numB);

	while(scanf("%d %d", &numA, &numB) != EOF){
		int count = 0;	
		for (int i = numA; i <= numB; ++i){
			result = sqrt(i);
			temp = (int)result;
			if (temp * temp == i){
				count++;
			} 
		}
		printf("%d\n", count);
	}
	// int num = 2000000000;
	return 0;
}

     但是我们发现，这种方法的效率太低，因为我们需要对[A,B]之间的所有数字都调用一次sqrt()函数，一次乘法操作，如果我们使用测试数据1 2000000000，会发现程序的执行时间相当长，我们是否可以不使用sqrt()函数，这样

的话我们就省略掉了函数调用的代价，我们可以从ceil( sqrt(numA) )（对numA求平方根然后向上取整）开始计算

i*i，判断i*i是否 < numB，如果在numB的范围内，那么这个数就是完全平方数。下面是相关的程序：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char const *argv[]){
	
	int numA = 0;
	int numB = 0;

	while(scanf("%d %d",&numA, &numB) != EOF ){
		int count = 0;
		for (int i = ceil( sqrt(numA) ) ; ; ++i){
			int result = i * i;
			if (result >= numA && result <= numB){
				count ++;
			}else if (result >numB){
				break;
			}
		}
		printf("%d\n", count);
	}
	return 0;
}

这种方法的执行效率明显就要比上一个方法快，我们只要执行一次函数调用，N次乘法操作即可。

但是有没有更好的方法呢？numA到numB之间的完全平方数是这个样子的：1 4 9 16 25 .........它们之间的距离不是1，

如果我们把这些完全平方数映射成距离为1的数列（1,2,3,4,5......），那么头减尾加一就是这个数列的长度，而这个长度就是完全平方数的个数，我们只需要计算头和尾元素的数值就可以了，再也不用迭代了，这就显著的节省了计算的

时间。下面是具体实现的代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char const *argv[]){
	
	int numA = 0;
	int numB = 0;

	while(scanf("%d %d",&numA, &numB) != EOF ){
		int count = 0;
		count = floor( sqrt(numB) ) - ceil( sqrt(numA) ) + 1;
		printf("%d\n",count);
	}
	return 0;
}

这个方法的代价就十分小了。