圆圈中最后剩下的数字----Joseph环

题目：n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

分析：我们完全可以用计算机来模拟上述过程，每找到一个要删除的数，需要扫描m次，总共删除n-1个数，所以总得扫描次数为m*(n-1)。这是一个平方级的复杂度，下面来考虑如何对它进行改进。

改进：上述模拟过程效率低的原因是，每次找到要删除的数都要进行m次的查找，怎么来减少查找次数？可我们又注意到，可以通过计算来找到那个要删除的数，比如第一次删除，(m-1)%n的结果即为要删除的数。可删除了该数以后怎么办呢？下面的计算应当怎么进行呢？

归纳：假设在某一时刻删除的数为第k个，并且知道k前面有A个数，k后面有B个数，那么可以对A，B进行运算而求得下一次应当删除的数是哪一个？现在问题变为，如何统计A，B的信息。。。。。

导致上述归纳行不通的原因自己分析如下：1.归纳基础不恰当 2. 这样归纳下去得到的结果是想要的吗？ 3. 信息不够，导致分析不能继续进行下去，所以得从题目中挖掘出更多的信息，明确题目最终要求的是什么。如何来过掉这道坎？

再归纳：题目要求最后剩下的一个数(用last表示)，也就是这个数是第几个，在（0,1,…,n-1）的位置是多少。明确了题目中的信息，所以我们要对这个数进行归纳。假设知道这个数在剩下的k个数中的位置，怎么来求得它在剩余K+1个数中的位置，这样一步一步推导出它在有n个数中的位置，即为所求。为什么能这样归纳，因为这个最后剩下的数在所有删除过程中有幸存活下来，只不过每次删除了一个数，它的位置就变了，知道最后，它的位置为0(只剩一个数了)。

现在来分析删除第一个数后，last这个数的位置已之前有什么样的关系。在这n个数字中，第一个被删除的数字是(m-1)%n，为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->    n-k-1
…
k-1   ->   n-2

现在我们知道了有n-1个数时last的位置，记为f(n-1,m)，那么如何来求得f(n,m)关于f(n-1,m)之间的关系？用X,Y来表示，如下：

Y              X

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->     n-k-1
…
k-1    ->    n-2

y=( x+k+1) %n

k = (m-1)%n

所以y=(x+m)%n，最终关系如下：

                0                              n=1
f(n,m)={
                [f(n-1,m)+m]%n     n>1

 

参考代码：

int Joseph(int n, int m)   
{  
    int fn=0;  
    for (int i=2; i<=n; i++)   
    {  
        fn = (fn+m)%i;   
    }  
      
    return fn;  
}