“分赌本问题”小结

本人在学习高翔博士《视觉SLAM十四讲（第二版）》的过程中，看到第一章的一个习题问“高斯分布是什么？”仔细想来，我好像只知道高斯分布的数学表达形式和它可以对随机误差或噪声进行建模，但对这个如此重要的概率分布是如何由来的，以及和高斯这位大神有什么联系并不清楚。于是上网查阅相关资料，从资料中发现了由中国科学院院士陈希孺老师编著的《数理统计学简史》这本很有意思的书。由于该书已经不再印刷，遂淘宝购买了复印版。在阅读概率学发展之初的历史时，发现了“分赌本”这个很有意思的问题，于是整理推导了相关内容，现分享给大家，欢迎指正！

1.引言

概率论最早萌发于以掷骰子为代表的机遇性赌博活动。

使用骰子作为赌博工具渊源很早。据记载，公元960年左右怀特尔德大主教计算出掷三个骰子时，不同骰子次序所能出现的不同组合数，有56中（三颗全同6种，两颗同另一颗异30种，三颗全异20种）。

到14世纪时，用骰子作赌博在欧洲已蔚成风气。至于纸牌，迟至1350年文献中尚无记录。此后，由于造纸术传入的促进，以高赌注玩纸牌在欧洲的富裕阶层中日渐常见，但由于教会的反对及一些国家的明令禁止，纸牌的流行在很长时期内远不如骰子。直到18世纪初，纸牌才取代骰子成为主要赌具。另外，玩纸牌中涉及的机遇问题比骰子复杂得多，故促进概率论诞生的功劳归于骰子。

赌博结果既然全凭机遇，参赌者自然会关心各种情况出现机遇的大小。在早期，概率（probability）与机遇（chance）两词的用法有区别：前者用于主观频率而后者用于客观频率，直到18世纪初才渐于统一，但以后仍有学者坚持这种区别。另外，在早期，人们更多用“胜率”（odds）一词，其与机遇的关系是：若甲与乙赌而甲胜的机遇为$\frac{1}{3}$，则说他的胜率为1:2（胜率为双方获胜概率之比，一般只讲整数比），这个词直到现在仍然常用。

在文艺复兴前，概率（或机遇，以下不加区别）还是一个非数学概念。到16世纪初，开始有一些意大利数学家讨论掷骰子中各种情况出现的机遇问题。这种研究结晶初了古典概率定义：即要把所研究的情况分解为一些看似同等可能的简单情况，其数目与全部可能结果数之比，即取为该情况出现的概率。此定义最初始于何人已不可考，因此这些早期的赌博家或学者，都没有著作流传下来。现今为人所知的一位是卡丹诺（G. Cardano, 1501~1576）。卡丹诺有一本名叫《机遇博弈》的著作（英译书名The Book of Games of Chance）。可惜的是，此书到他去世很久以后的1663年才得以发表，其时关于概率论的若干重要著作已然问世，这削弱了该著作及其作者在概率史上的地位和影响（该书约成于1564年）。如果把古典概率的发明归于他的名下，或许也无人反对。

卡丹诺的《机遇博弈》一书对当时及此前在赌博家中逐渐形成的一些概念，即古典概率的定义和计算，作了整理和总结。除此以外，他还在1539年于另一本著作中，提出了他对当时引起很大兴趣的“分赌本问题”的一种解法。此问题在概率论发展史上起过重要作用，值得好好谈一谈。

2.问题描述

分赌本问题：A、B两人赌博，各出注金$a$元，每局各人获胜概率都是$\frac{1}{2}$，约定：谁先胜$S$局，即赢得全部注金$2a$元。现进行到A胜$S_1$局、B胜$S_2$局（$S_1$和$S_2$都小于$S$）时赌博因故停止，问此时注金$2a$元应如何分配给A和B才算公平？（此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对$S=6$、$S_1=5$和$S_2=2$的情况。）

3.错误解答史

由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法（如今看来都不正确）：

• 1494年，帕西奥利本人提出按$S_1:S_2$的比例分配
• 1556年，塔泰格利亚怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官解决的问题，但他也提出了如下的解法：若$S_1>S_2$，则A取回自己下的注$a$元，并取走B下的注的$\frac{S_1-S_2}{S}$。此时A分配到$(1+\frac{S_1-S_2}{S})a=\frac{S+S_1-S_2}{S}a$元，B分配到$(1-\frac{S_1-S_2}{S})a=\frac{S-S_1+S_2}{S}a$元，这等于按$S+S_1-S_2:S-S_1+S_2$的比例瓜分注金。
• 1603年，法雷斯泰尼根据某种理由，提出按$2S-1+S_1-S_2:2S-1-S_1+S_2$的比例分配。
• 1539年，卡丹诺在其著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记$r_i=S-S_i,i=1,2$。把注金按$r_2(r_2+1):r_1(r_1+1)$之比分给A和B。他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是$S_1$和$S_2$与$S$的差距，而不在其本身。

这个问题的症结在于：它关乎各人在当时状况下的期望值。从以上这些五花八门的解法似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。

4.正确解答史

4.1帕斯卡的解答

帕斯卡（B. Pascal，1623-1662）与费马（P. de Fermat，1601-1665）在1654年7~10月间来往了7封信，其中涉及了有关“分赌本问题”的解法。

帕斯卡以$r_1=S-S_1$和$r_2=S-S_2$分别记为取得胜利A和B尚须赢得的赌局数。巴斯喀认识到，注金的公正分配只应与$r_1$和$r_2$有关。因为若赌局继续下去，A（以及B）最终取胜的概率只与$r_1$和$r_2$有关。记A取胜的概率为$e(r_1,r_2)$，则有边界条件：

$$\begin{gathered} e(0,r_2)=1，当r_2>0（A已经获胜） \\ e(r_1,0)=0，当r_1>0（B已经获胜） \\ e(a,a)=\frac{1}{2}（A和B距离获胜的场次相同） \end{gathered}$$

且有地推公式

$$e(r_1,r_2)=\frac{1}{2}e(r_1-1,r_2)+\frac{1}{2}e(r_1,r_2-1)=\frac{e(r_1-1,r_2)+e(r_1,r_2-1))}{2}$$

帕斯卡在此使用了全概率公式，即考虑若再赌一局，有“A胜”、“B胜”两种可能。所以（A距离胜利剩$r_1$场且B距离胜利剩$r_2$场的概率）=（A距离胜利剩$r_1-1$场且B距离胜利剩$r_2$场的概率）$\times$（A再胜一场的概率，即$\frac{1}{2}$）+（B距离胜利剩$r_1$场且B距离胜利剩$r_2-1$场的概率）$\times$（B再胜一场的概率，即$\frac{1}{2}$）.。

帕斯卡由边界条件和递推公式出发，依次计算出：
$$\begin{gathered} e(2,1)=\frac{e(1,1)+e(2,0)}{2}=\frac{\frac{1}{2}+0}{2}=\frac{1}{2^2}=C_0^2\cdot 2^{-2} \\ e(1,2)=\frac{e(0,2)+e(1,1)}{2}=\frac{1+\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{2^2}=(C_0^2+C_1^2)\cdot 2^{-2} \\ e(3,1)=\frac{e(2,1)+e(3,0)}{2}=\frac{\frac{1}{2^2}+0}{2}=\frac{1}{2^3}=C_0^3\cdot 2^{-3} \\ e(1,3)=\frac{e(0,3)+e(1,2)}{2}=\frac{1+\frac{3}{2^2}}{2}=\frac{7}{2^3}=(C_0^3+C_1^3+C_2^3)\cdot 2^{-3} \\ e(3,2)=\frac{e(2,2)+e(3,1)}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}}{2}=\frac{5}{2^4}=(C_0^4+C_1^4)\cdot 2^{-4} \\ e(2,3)=\frac{e(1,3)+e(2,2)}{2}=\frac{\frac{7}{2^3}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{11}{2^4}=(C_0^4+C_1^4+C_2^4)\cdot 2^{-4} \\ ⋮ \end{gathered}$$

帕斯卡对这些值进行了观察，并结合帕斯卡三角（他本人提出的，也称杨辉三角，三角中第$n$行第$m$个数的值为$C_{m-1}^{n-1}$）：

帕斯卡综合出一般解的形式：

$$p_A=e(r_1,r_2)=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1+r_2-1}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}(1)$$
其中$C_i^r=\frac{r!}{i!(r-i)!}$。

因此，注金应该按照$p_A:p_B$之比分配给A和B，而$2a{p}_A$和$2a{p}_B$是A和B在当时状态下的期望值。

4.2费马的解答

不同于帕斯卡，费马考虑了完备事件集，假设要计算A获胜的概率，则可以分为如下情况：

• A连胜$r_1$局，B胜$0$局，其概率为$p_0=(\frac{1}{2}{)}^{r_1}=2^{-r_1}$
• A胜$r_1$局，B胜$1$局，且A在最后一局取胜，其概率为$p_1=C_1^{r_1}\cdot 2^{-(r_1+1)}$
• A胜$r_1$局，B胜$2$局，且A在最后一局取胜，其概率为$p_2=C_2^{r_1+1}\cdot 2^{-(r_1+2)}$
• $⋮$
• A胜$r_1$局，B胜$r_2-1$局，且A在最后一局取胜，其概率为$p_{r_2-1}=C_{r_2-1}^{r_1+r_2-2}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}$

以上情况构成了A获胜的完备事件集，因此A获胜的概率为这些事件的概率和：

$$p_A=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1-1+i}\cdot 2^{-(r_1+i)}=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_{r_1-1}^{r_1-1+i}\cdot 2^{-(r_1+i)}(2)$$

费马的解法隐含使用概率加法定理。

帕斯卡和费马与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法——他们没有使用概率这个名称。与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了。他们引进了赌博的值（value）的概念，值等于赌注乘以获胜概率。3年后，惠更斯改“值”为“期望”（expectation），这就是概率论的最重要概念之一——（数学）期望的形成和命名过程。

4.3 蒙特姆特的解答

1710年，蒙特姆特在一封信中假定赌博继续进行下去，至多再赌$r=r_1+r_2-1$局，即能分出胜负。若要A获胜，他在这$r$局中至少须胜$r_1$局，因此按照二项分布，A获胜的概率为：

$$p_A=\sum _{i=r_1}^r{C}_i^r\cdot 2^{-r}=\sum _{i=r_1}^{r_1+r_2-1}{C}_i^{r_1+r_2-1}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}(3)$$

此外，蒙特姆特在信中还给出了二人获胜概率不同的情况，后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形。

5.正确解答等价性分析

对于同一个问题，帕斯卡、费马和蒙特姆特分别从三个不同的角度得到了三个形式上不同的答案，现证明这三个答案都是等价的。

• 首先证明公式（1）和公式（2）是等价的。

在公式（2）中，

$$p_A=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_{r_1-1}^{r_1-1+i}\cdot 2^{-(r_1+i)}=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1-1+i}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}\cdot 2^{(r_2-1-i)}$$

对比公式（1）：

$$p_A=e(r_1,r_2)=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1+r_2-1}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}$$

只须证明

$$\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1-1+i}\cdot 2^{(r_2-1-i)}=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1+r_2-1}(\ast )$$

即可证明公式（1）和公式（2）是等价的。

现用数学归纳法证明（$\ast$）式成立。

在$r_2=1$时，（$\ast$）式成立：

$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^0{C}_i^{r_1-1+i}\cdot 2^{(-i)}=\sum _{i=0}^0{C}_i^{r_1} \\ 1=1 \end{gathered}$$

假设（$\ast$）式在$r_2\le k$时成立，现考虑$r_2=k+1$的情况：

当$r_2=k+1$时，（$\ast$）式右边为${\sum }_{i=0}^k{C}_i^{r_1+k}$，且因为

$$C_i^{r_1+k}=C_i^{r_1+k-1}+C_{i-1}^{r_1+k-1}$$

于是有

$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^k{C}_i^{r_1+k}=\sum _{i=0}^k{C}_i^{r_1+k-1}+\sum _{i=0}^k{C}_{i-1}^{r_1+k-1}=\sum _{i=0}^k{C}_i^{r_1+k-1}+\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i^{r_1+k-1} \\ =C_k^{r_1+k-1}+\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i^{r_1+k-1}+\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i^{r_1+k-1}=C_k^{r_1+k-1}+2\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i^{r_1+k-1} \end{gathered}$$

由于（$\ast$）式在$r_2\le k$时成立，所以有

$$\begin{gathered} C_k^{r_1+k-1}+2\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i^{r_1+k-1}=C_k^{r_1+k-1}+2\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i^{r_1-1+i}\cdot 2^{k-1-i} \\ =C_k^{r_1+k-1}+\sum _{i=0}^{k-1}{C}_i^{r_1-1+i}\cdot 2^{k-i}=\sum _{i=0}^k{C}_i^{r_1-1+i}\cdot 2^{k-i} \end{gathered}$$

所以，（$\ast$）式在$r_2=k+1$时同样成立，得证（$\ast$）式成立。

因此，我们已经证明公式（1）和（2）是等价的。

• 再证明公式（1）和公式（3）是等价的。

公式（3）是

$$\begin{gathered} p_A=\sum _{i=r_1}^r{C}_i^r\cdot 2^{-r}=\sum _{i=r_1}^{r_1+r_2-1}{C}_i^{r_1+r_2-1}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_{r_1+i}^{r_1+r_2-1}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)} \\ =\left(C_{r_1}^{r_1+r_2-1}+C_{r_1+1}^{r_1+r_2-1}+\cdots +C_{r_1+r_2-2}^{r_1+r_2-1}+C_{r_1+r_2-1}^{r_1+r_2-1}\right)\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)} \end{gathered}$$

且

$$\begin{gathered} C_{r_1+r_2-1}^{r_1+r_2-1}=C_0^{r_1+r_2-1} \\ {C}_{r_1+r_2-2}^{r_1+r_2-1}=C_1^{r_1+r_2-1} \\ ⋮ \\ {C}_{r_1+1}^{r_1+r_2-1}=C_{r_2-2}^{r_1+r_2-1} \\ {C}_{r_1}^{r_1+r_2-1}=C_{r_2-1}^{r_1+r_2-1} \end{gathered}$$

因此，

$$\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_{r_1+i}^{r_1+r_2-1}=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1+r_2-1}$$

所以，

$$p_A=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_{r_1+i}^{r_1+r_2-1}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}=\sum _{i=0}^{r_2-1}{C}_i^{r_1+r_2-1}\cdot 2^{-(r_1+r_2-1)}$$

因此，我们已经证明公式（1）和（3）是等价的。

综上所述，我们证明了公式（1）、（2）、（3）都是等价的，即帕斯卡、费马、蒙特姆特的解答形式虽然不同，但都是一样的。

6. 总结

“分赌本问题”在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。有的解法，特别是帕斯卡的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具，如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等。可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。

参考资料

[1]. 陈希孺，数理统计学简史[M]，长沙：湖南教育出版社，2000.