【动态规划】常见背包问题合集

01背包： 

有N件物品和一个容量为V的背包。（每件物品只有一件）第i件物品的费用是c[i],价值是v[i],求解将哪些物品装入背包使总价值最大。

转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}，可以优化只用一维数组.
代码如下： 

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print ?

1. for(int i=0;i<nPack;i++)  
2.     for(int j=nMaxVolume;j>=w[i];j–)  
3.         if(record[j-c[i]]+v[i]>record[j])  
4.                 record[j]=record[j-c[i]]+v[i];  

完全背包：

如果物品不计个数，即每个物品有无穷多件的话，稍微改一下代码即可。 

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print ?

1. for(int i=0;i<nPack;i++)  
2.     for(int j=w[i];j<=nMaxVolume;j++)  
3.         if(record[j-c[i]]+v[i]>record[j])  
4.                 record[j]=record[j-c[i]]+v[i];  

多重背包：

每个物品给出确定的件数，求可以得到的最大价值。 

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print ?

1. for(i=0;i<kind;i++)  
2.     for(j=0;j<bag[i];j++)  
3.         for(k=nManVolume;k>=v[i];k–)  
4.             if(record[j-c[i]]+v[i]>record[j])  
5.                 record[j]=record[j-c[i]]+v[i];  

优化版本：

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print ?

1. //0-1背包，代价为cost,获得的价值为weight  
2. void ZeroOnePack(int cost,int weight)  
3. {  
4.     for(int i=nValue;i>=cost;i–)  
5.       dp[i]=max(dp[i],dp[i-cost]+weight);  
6. }  
7. //完全背包，代价为cost,获得的价值为weight  
8. void CompletePack(int cost,int weight)  
9. {  
10.     for(int i=cost;i<=nValue;i++)  
11.       dp[i]=max(dp[i],dp[i-cost]+weight);  
12. }  
13. //多重背包  
14. void MultiplePack(int cost,int weight,int amount)  
15. {  
16.     if(cost*amount>=nValue) CompletePack(cost,weight);  
17.     else  
18.     {  
19.         int k=1;  
20.         while(k<amount)  
21.         {  
22.             ZeroOnePack(k*cost,k*weight);  
23.             amount-=k;  
24.             k<<=1;  
25.         }  
26.         ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight);  
27.     }  
28. }  

 

混合背包：

01背包，完全背包，多重背包的混合体

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print ?

1. for(i=0;i<n;i++)  
2. {  
3.     if(第i件物品是01背包)  
4.         ZeroOnePack(c[i],v[i]);  
5.     else if(第i件物品是完全背包)  
6.         CompletePack(c[i],v[i]);  
7.     else if(第i件物品是多重背包)  
8.         MultiplePack(c[i],v[i]);   
9. }  

}

二维背包：

对于每件物品有两种不同费用，比如有n种物品，每种物品都有体积vi，重量wi，价值ti,限制体积最多为V，重量最多为W

增加了一维费用，只需要状态也增加一维即可。设f[i][x][y]表示前i件物品，付出两种代价分别为x和y时可以获得的最大价值。

f[i][x][y]=max{f[i-1][x][y],f[i-1][x-v[i]][y-w[i]]+t[i]} 

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print ?

1. for(i=0;i<n;i++)  
2. {  
3.     for(int x=V;x>=v[i];x–)  
4.     {  
5.         for(int y=W;y>=w[i];y–)  
6.         {  
7.             f[x][y]=max(f[x-v[i]][y-w[i]]+t[i],f[x][y]);      
8.         }     
9.     }     
10. }  

分组背包：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，
最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

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print ?

1. for(int i=1;i<=n;i++)//有n组   
2.     for(int j=V;j>=1;j–)//从后往前遍历   
3.         for(int k=1;k<=m;k++)//第i组内的各个数据  
4.             if(j-k>=0&&dp[j]<dp[j-cost[i][k]]+value[i][k])dp[j]=dp[j-cost[i][k]]+value[i][k];//cost[i][j]表示第i组第j个物品的花费，value[i][j]表示第i组第j个物品的价值   

需要注意的细节：

如果没有要求背包一定要装满，则record[i]初始化为0。如果要求一定要装满，则除了record[0]为0之外其他record[i]初始化为-INF。

转自：https://blog.youkuaiyun.com/Hemk340200600/article/details/64210235