Icosian 曼哈顿回路

应用领域

解决 Icosian 游戏 

查找沿正十二面体边缘的哈密顿圈。

图论及其应用-哈密尔顿图(alpha) 图论及其应用-哈密尔顿图(alpha)   小结：2010-04。。todo 没有粘贴公式。 1重要的概念是 闭包。 注意 ppt定义4 2重点汇总与 闭包定理 3其他的2个定理对比：（第一阶级：是不是两个反面） 一个是  存在 不相邻的点u , v, 围绕 du + dv >=n; G 是H图，那么G+uv也是H图（66：增边）                       满足du + dv >=n 都有u,v相邻，那么G是闭包、   本次课主要内容 (一)、哈密尔顿图的概念 (二)、性质与判定 哈密尔顿图      1、背景 (一)、哈密尔顿图的概念     1857年， 哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。      哈密尔顿(1805---1865),爱尔兰数学家。个人生活很不幸，但兴趣广泛：诗歌、光学、天文学和数学无所不能。他的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第一个非交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。     哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备而著名) ，1859年获得专利权。但商业运作失败了。     该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。      2、哈密尔顿图与哈密尔顿路      定义1 如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。所经过的闭途径是G的一个生成圈，称为G的哈密尔顿圈。     例1、正十二面体是H图。      例2 下图G是非H图。      证明：因为在G中，边uv是割边，所以它不在G的任意圈上，于是u与v不能在G的同一个圈上。故G不存在包括所有顶点的圈，即G是非H图。      定义2 如果存在经过G的每个顶点恰好一次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。 (二)、性质与判定      1、性质      定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任一非空顶点子集S，有：        证明：G是H图，设C是G的H圈。则对V(G)的任意非空子集S, 容易知道:        所以，有：        注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满足时，可断定对应图是非H图。      例3 求证下图是非H图。      证明：取S=｛2, 7, 6｝,则有：        所以由定理1知，G为非H图。       注意：满足定理1不等式的图不一定是H图。       例如：著名的彼德森图是非H图，但它满足定理1的不等式。      彼得森(1839----1910)，丹麦哥本哈根大学数学教授。家境贫寒，因此而辍过学。但19岁就出版了关于对数的专著。他作过中学教师，32岁获哥本哈根大学数学博士学位，然后一直在该大学作数学教授。      彼得森是一位出色的名教师。他讲课遇到推理困难时，总是说：“这是显而易见的”，并让学生自己查阅他的著作。同时，他是一位有经验的作家，论述问题很形象，讲究形式的优雅。      1891年，彼得森发表了一篇奠定他图论历史地位的长达28页的论文。这篇文章被公认是第一篇包含图论基本结论的文章。同时也是第一次在文章中使用“图”术语。      1898年，彼得森又发表了一篇只有3页的论文，在这篇文章中，为举反例构造了著名的彼得森图。      2、判定       图的H性判定是NP-困难问题。到目前为止，有关的定理有300多个，但没有一个是理想的。拓展H图的实用特征仍然被图论领域认为是重大而没有解决的问题。      图的哈密尔顿问题和四色问题被谓为挑战图论领域150年智力极限的总和。三位数学“诺奖”获得者ErdÖs、Whitney 、 Lovász 以及Dirac、Ore等在哈密尔顿问题上有过杰出贡献。      下面，介绍几个著名的定理。      定理2 (充分条件) 对于n≧3的单图G，如果G中有：        那么G是H图。      证明: 若不然，设G是一个满足定理条件的极大非H简单图。显然G不能是完全图，否则，G是H图。      于是，可以在G中任意取两个不相邻顶点u与v。考虑图G + u v，由G的极大性，G+ u v是H图。且G+ u v的每一个H圈必然包含边u v。      所以，在G中存在起点为u而终点为v的H路P。      不失一般性，设起点为u而终点为v的H路P为：