二分匹配的补充

二分匹配
月老的难题：
输入：
每组测试数据的第一行有两个整数n,K，其中男孩的人数与女孩的人数都是n。(n<=500,K<=10 000)
随后的K行，每行有两个整数i,j表示第i个男孩与第j个女孩有可能结成幸福的家庭。(1<=i,j<=n)
输出：
输出最多可能促成的幸福家庭数量
[cpp] view plaincopy   
1 # include<stdio.h>  
2 # include<string.h>  
3 # include<list>  
4 # include<vector>  
5 using namespace std;  
6   
7 vector<int> s[505];  
8 int vis[505], link[505];  
9   
10 bool get_num(int i)  
11 {  
12     for(int j = 0; j < s[i].size(); j++)    //指向第一个元素和最后一个元素  
13     {  
14         int t = s[i][j];  
15         if(vis[t] == 0)                          //用*取值  
16         {  
17             vis[t] = 1;  
18             if(link[t] == 0 || get_num(link[t]) )  
19             {  
20                 link[t] = i;  
21                 return true;  
22             }  
23         }  
24     }  
25     return false;  
26 }  
27   
28 int main()  
29 {  
30     int t, n, k;  
31     scanf("%d", &t);  
32     while(t--)  
33     {  
34         scanf("%d%d", &n, &k);  
35         int a, b;  
36         for(int i = 1; i <= n; i ++)     //用之前清空，以免错误和忘记  
37         {  
38             s[i].clear();  
39         }  
40         for(int i = 0; i < k; i ++ )  
41         {  
42             scanf("%d%d", &a, &b);  
43             s[a].push_back(b);   //链表中放元素  
44         }  
45         memset(link, 0, sizeof(link));  
46         int num=0;  
47         for(int i = 1; i <= n; i ++)  
48         {  
49             memset(vis, 0, sizeof(vis));     //每次都必须初始化  
50             if(get_num(i))  
51                 num++;  
52         }  
53         printf("%d\n",num);  
54     }  
55     return 0;  
56 }  
57           
 
二分图:
二分图又称二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可以分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边 (i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A, j in B), 则称图G是二分图。e.g.
匹配：
给定一个二分图，在G的一个子图G’中，如果G’的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称G’的边集为G的一个匹配
最大匹配：
在所有的匹配中，边数最多的那个匹配就是二分图的最大匹配了
顶点覆盖：
在顶点集合中，选取一部分顶点，这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集
最小顶点覆盖：
在所有的顶点覆盖集中，顶点数最小的那个叫最小顶点集合。
独立集：
在所有的顶点中选取一些顶点，这些顶点两两之间没有连线，这些点就叫独立集
最大独立集：
在左右的独立集中，顶点数最多的那个集合
路径覆盖：
在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的顶点，每个顶点都只与一条路径相关联。
最小路径覆盖：
在所有的路径覆盖中，路径个数最小的就是最小路径覆盖了。
熟悉了这些概念之后，还有一个二分图最大匹配的König定理，这个定理的内容是：最大匹配 = 最小顶点覆盖。此处不证明其正确性。有了这个定理之后还可以得出一些二分图特有的公式：
最大独立集 = 顶点个数 – 最小顶点覆盖（最大匹配）
这个公式，我们可以利用最大匹配来找到最大的独立集。而最大独立集和最小路径覆盖有个千丝万缕的关系。
对于二分图的最大匹配，常用的求解方法是hungarian算法和最大流算法。以poj上的题目为例说明：
POJ2271: 题目大意是，一群男孩和女孩共N人，某些男孩和女孩之间会发生恋爱关系（满足一定的关系），现在希望找到最多的孩子，他们之间不会发生恋爱关系。
分析：找到最多的孩子，没有恋爱关系，这实质上是找最大独立集。假设男孩在左有a个,女孩在右有b个，那么如果某男孩和某女孩之间有关系，就连线。最大独 立集就是找到最多顶点，顶点之间没有联系，正好就是所求，而最大独立集就是 N-最大匹配，所以问题得到解决。试想，如果二分图中没有连线，那么所有的孩子都可选，最大独立集也是N,他们是等价的。如果存在一条连线，那么去掉一个 孩子就是所找的孩子，最大独立集此时是N-1.依次类推。在试想，最大匹配其实就找到了几对恋爱对象，假设是这样的
a b
B0 G0
B1 G1
… …
Bi Gi
… …
我们只需要把他们的另一半去掉，就是我们找的孩子。不过会有这样的疑问，如果我取出了B1的另一半G1,B1会不会和其余的孩子恋爱呢，比如说B1和b会 恋爱，那么好吧，去掉G1的另一半B1,这样就不会有问题了吧。还有担心？G1会不会和其余的孩子恋爱呢，比如说G1和a会恋爱，不过这样的情况是不会出 现的。假如G1和a好，B1和b好，那么最大匹配中出现的是两条边G1->a B1->b，而不是现在的B1和G1.所以，既然最大匹配中选择了B1和G1,去掉他们中间的一个肯定是可行的。所以答案就是N-最大匹配了。
POJ3692:题目大意是，一群男孩B个（他们互相认识），一群女孩G个（他们互相认识），某些男孩和某些女孩相识，现在找出最多的孩子，他们互相认识
分析：这个题目和上面的有些相似。对于利用二分图最大匹配算法解题最重要不是匹配算法本身，而是如何问题转化为二分图模型。一旦模型建立，就很容易了。题 目要找的是一群孩子，他们之间都互相认识，也就是说这是一个团（图的概念，任意两个顶点之间都有连线）。可是如果直接去找团，可能比较麻烦。因为这是二分 图，自然要利用二分图的性质。在二分图的算法里面没有找团的相关算法，所以我们可以考虑反问题，找出最多的孩子，他们之间互不认识，这不是就是求最大独立 集嘛。建立这样的二分图，左边是男孩，右边是女孩，如果男孩和女孩不认识就连上边，在这样的二分图中，找最大独立集，其实就是找出所有的相互认识的孩子 了。接下来就很容易了。此题说明模型的转化和构图很重要。
POJ3041:题目大意是，一个矩阵，某些位置有小行星，有一种炸弹，一次可以炸掉一行或者一列，现在问题是需要最少用多少这样的炸弹。
分析：模型转化，非常巧妙的利用二分图来解决。利用二分图必须有左顶点和右顶点，我们把行作为左顶点，列作为右顶点，如果该行和该列的交点有小行星，就连 线。求此二分图的最大匹配就是了。对这个问题展开思考，为什么可以这么转化。其实从最小顶点覆盖的角度来想比较好理解，左边的顶点和右边的顶点只有当有小 行星的时候才有连线，那么只要找到最少的顶点把所有的边覆盖了，那么就是所求的解了。最小顶点覆盖等值于最大匹配
POJ1466:题目大意是，一群人N，某人可能是多某些人有罗曼史，性别未知，但一定是异性。找出最多的同学，他们之间无罗曼史
分析：因为性别未知，所以可以把所有的人当成左顶点，右边也是所有的人，建立二分图，可以想象，这样求出来的最大匹配是男女分开建立的二分图的最大匹配的二倍。而题目让找最大独立集，所以应该是N-最大匹配/2;
POJ1325:题目大意是，有两台机器，有多个任务，每个任务都可在这两台机器上运行，不过不同的模式需要重启电脑，很浪费时间，现在要找出最好的调度方式，减少调度时间。
（在某个点上能覆盖完成多少任务，能一起在一个点上完成，就让在一个点上完成）
58 题意：有A,B两台机器， 机器A 有 n个模式(0, 1, 2....n-1)，同样机器B有m个模式， 两个机器一开始的模式都为0，有k个作业(id，x，y) 表示作业编号id， 该作业必须在A机器在模式x下或者B机器在模式y下完成，问你至少要切换几次机器模式。
思路：很裸的最小覆盖点集，不熟悉概念的多看看蓝书吧，很容易证明 最小覆盖点集 == 最大匹配int main() {
59     int i;
60     while( ~scanf("%d", &n) && n) {
61         scanf("%d%d", &m, &q);
62         int x, y;
63         for(i = 0; i < n; i++)
64             edge[i].clear();
65         while(q--) {
66             scanf("%*d%d%d", &x, &y);
67             if(!x || !y) continue;
68             edge[x].push_back(y);
69         }
70         memset(pre, -1, sizeof(int)*m);
71         int cnt = 0;
72         for(i = 0; i < n; i++) {
73             memset(vis, 0, sizeof(bool)*m);
74             if(dfs(i)) cnt++;
75         }
76         printf("%d\n", cnt);
77 
78     }
79     return 0;
80 }
 
分析：最少的顶点覆盖最多的边（任务），所以是最小顶点覆盖问题
 
POJ2060:题目大意，有很多人预订出租车，如果出租车做完一个任务能够敢到下一个任务，就不需要在调度一辆出租车了，现在请问最少需要几辆出租车。
分析：最小路径问题，对任务构图，将一个任务拆开成两个点，建立二分图，如果一个任务能够完成之后赶到下个任务就连线，然后就是二分图问题了。最小路径等值于二分图的最大独立集
81 int can(int s,int e) /*判断两个任务间是否能连线*/  
82 {  
83     int dis=p[s].h*60+p[s].m;  
84     dis+=abs(p[s].x1-p[s].x2)+abs(p[s].y1-p[s].y2);  
85     dis+=abs(p[e].x1-p[s].x2)+abs(p[e].y1-p[s].y2);  
86     if(dis<p[e].h*60+p[e].m)  
87         return 1;  
88     return 0;  
89 }  
90 
91  for(i=1;i<=n;i++)   
92         {   
93             scanf("%d:%d",&p[i].h,&p[i].m);  //建图
94             scanf("%d%d%d%d",&p[i].x1,&p[i].y1,&p[i].x2,&p[i].y2);  
95         }  
96         for(i=1;i<=n;i++)  
97             for(j=i+1;j<=n;j++)  
98                 if(can(i,j))  
99                     map[i][j]=1;  
 
POJ2226:和3041相似，不过这里不是销毁一行或者一列，一次只能销毁连着的一行或者一列。可以把所有的行连续的段拿出来作为左顶点，所有的列连续的段拿出来作为右顶点，如果左段与右段之间有相交，就连线。然后求最小顶点覆盖
100 nx=0;  
101     ny=0;  
102     for(i=1;i<=n;i++)  
103     {  
104         j=1;  
105         while(j<=m)  
106         {  
107             if(s[i][j]=='*')  
108             {  
109                 nx++;  
110                 while(s[i][j]=='*')  
111                 {  
112                     cx[i][j]=nx;  
113                     j++;  
114                 }  
115             }  
116             else j++;  
117         }  
118     }  
119     for(j=1;j<=m;j++)  
120     {  
121         i=1;  
122         while(i<=n)  
123         {  
124             if(s[i][j]=='*')  
125             {  
126                 ny++;  
127                 while(s[i][j]=='*')  
128                 {  
129                     cy[i][j]=ny;  
130                     i++;  
131                 }  
132             }  
133             else i++;  
134         }  
135     }  
136     for(i=1;i<=n;i++)  
137     {  
138         for(j=1;j<=m;j++)  
139         {  
140             if(s[i][j]=='*')  
141             {  
142                 map[cx[i][j]][cy[i][j]]=1;  
143             }  
144         }  
145     }  
POJ1422:最小路径覆盖
POJ2594:特殊的最小路径覆盖，每个顶点可以有多条路径经过，这时需要事先把任意两点之间是否能够到达求出，然后在求路径覆盖。
POJ1548:最小路径覆盖
POJ3216:最小路径覆盖