最小生成树（kruskal算法和Prim算法）

最新推荐文章于 2025-02-28 08:37:58 发布

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本文详细解析了Prim和Kruskal两种最小生成树算法的核心思想与实现细节，介绍了如何通过这两种算法来寻找图中所有顶点的最短连接路径。

1.问题

最小生成树：一个有 n 个结点连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

2.解析

prim算法：
**核心思想：**让一颗小树长大。
①随机选择一点v加入V（初始时为空），并设一变量ans记录已选中的权值和
②找到图中权值最小的边<v1,v2>，要求v1存在V中、v2不存在V中
③将v2加入V中，ans += 边<v1,v2>的权重
重复②③步骤
遇到的难点：
for(已选的点）{
for(未选的点）{
找出权值最小的边
}
将该边的权值加入总权重中
将找到的点置为已选中
}//错误思路
后来我发现这样做是行不通的，因为每加入一个新的点，都需要再重新
走一遍上面的代码，也就是说我设计的算法的时间复杂度不是O(n^2)
而是O(n^3)。
算法关键的一点是如何记录已经扫描过的边，比如我从v1开始，,经历步骤②③后将v2加入了V，
如果不做处理，步骤②又会先从v1开始扫描再扫描v2，这就会增大时间复杂度。
解决：
用三个数组并且不断更新这三个数组直到找出最小生成树
selected：记录某个顶点是否已加入生成树
T：是，F：否，初始状态下所有顶点为F。
minDist:联结已选顶点集合到未选顶点的所有边中最短的那条边
初始状态下均为inf。
parent:以selected的元素为v1,minDist的元素为边，确定parent数组的值，即parent存放的是v2。
初始状态下均为-1

图片演示
在这里插入图片描述

结束条件
①所有顶点都为T
②选择的边数 = 顶点数 - 1

kruskal算法：
**核心思想：**将森林合并成树
将所有边的权值按从小到大的顺序排列，若边的两顶点与选中的顶点没有构成回路，则将这两个顶点加入已选顶点中，若构成回路则跳过该边，直到所有顶点都被选中。

图片演示
在这里插入图片描述

3.设计

int prim()
{
随机选一个起点v，将该点的selected置为T
while(1)
{
for(v的每个未被收录的每个邻接点)
{
更新minDist和parent数组
}
for(v的每个未被收录的每个邻接点）
{
找出未收录顶点中dist最小的顶点u
}
置selected[u]为T
置v=u
if(全部顶点都已被收录)break;
}
}