向量的点积与叉积

向量的点积

点积又叫内积，数量积，有以下两个定义：
$\vec{a}\cdot \vec{b}=a b cos\theta$
$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

• 几何意义

  • 一个向量在另一个向量上投影的积。如果其中一个向量是坐标轴的单位向量，那么结果就是这个向量在该坐标轴的坐标。那么如果要将一个向量变换到新的坐标系，只需要对新坐标系的轴向量进行内积运算即可。
  • 内积还可以对两个向量的方向进行大致的判断，为正说明向量之间夹角为锐角，为负说明夹角是钝角，为0说明夹角是90度，即相互垂直。

• 物理意义
  可以参考高中教材，力在斜坡上对木块做功。

向量的叉积

叉积又叫外积。定义也有两个：
$\vec{a}\times \vec{b}=(absin\theta )\vec{n}$
$\vec{a}\times \vec{b}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$

• 几何意义

  • 叉积是一个向量，改向量垂直与两个向量所确定的平面，大小等于由两个向量为边组成的平行四边形的面积。该向量的方向可以由右手定则唯一确定：按照运算顺序，四指指向第一个向量a,往后向b弯曲，大拇指所指的方向就是叉积的方向。
  • 该叉积的三个分量其实就是该平行四边形在三个坐标平面上的投影。而每个单独的投影也是一个叉积的大小。比如$a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}$就是叉积$(a_{x},a_{y})\times (b_{x},b_{y})$的大小。
  • 注意：两个向量的叉积只能定义在三维空间中。

• 物理意义
  如果一个向量为力，另外一个向量为杆（力臂），那么叉积就是力矩。