二分查找最大比较次数

      对有序数组进行查找,一般采用折半查找,也叫二分查找。它的最大比较次数,或者查找一个数组中不存在的数据的最大比较次数,如下:

 

public class BinarySearchNum 
{
	private static int Length = 9;
	
	public static void main(String[] args)
	{
		int size = 10;
		int low = 1;
		int high = 1;

		for(int i=0; i<Length; i++)
		{
			high = size;
			
			Compute(low, high);
			
			size = size * 10;
		}
	}
	
	public static void Compute(int low, int high)
	{
		int count = 0;
		int temp = high;
		
		while(low != high)
		{
			high = (low + high)/2;
			
			count++;
		}
		
		System.out.println(temp + "  " + count);
	}
}

 

 

输出结果为(前面数字为数组大小,后面数字为最大比较次数):

10  4
100  7
1000  10
10000  14
100000  17
1000000  20
10000000  24
100000000  27
1000000000  30

 

       后来想到一个问题,对有序数组的查找,是不是二分查找算法就是最快的呢?于是试了下“三分查找”,如下代码,结果比较次数比二分查找的次数多。如下代码:

 

public class TripleSearchNum 
{
	public static int Size = 1000;
	
	public static void main(String[] args)
	{
		int low = 1;
		int high = Size;
		int count = 0;
		
		while(low != high)
		{
			high = (low + high)/3;
			count = count + 2;
		}
		
		System.out.println(count);
	}
}

 

<think>好的,用户现在想了解二分查找最大查找长度计算公式。我需要先回顾一下相关的知识点,确保回答准确。 首先,二分查找最大查找长度,也就是在最坏情况下需要比较次数。根据二分查找的原理,每次都将搜索范围缩小一半,所以应该和数组长度的对数有关。不过具体公式可能不是简单的log2(n),可能需要考虑向上取整或者不同的情况。 记得之前学过,最大查找次数等于将n不断除以2直到为1的次数,也就是以2为底的对数,向上取整。例如,当n=8时,最大查找次数是3,因为log2(8)=3。而如果n=7,同样需要3次,因为第三次才能确定是否存在。那可能公式是floor(log2(n)) +1? 另外,用户提供的引用中有提到平均查找长度,但这里需要的是最大长度。引用[2]提到了平均查找长度,但可能对最大长度的推导有帮助。比如,当数组长度为n时,最大查找次数可能与树的深度有关,因为二分查找可以看作是二叉判定树的结构。 二叉判定树的深度即为最大查找次数。根据二叉树的性质,深度为h的树最多有2^h -1个节点。因此,如果n在2^(h-1)和2^h -1之间,最大查找次数就是h。所以最大查找长度应该是floor(log2(n)) +1。例如,当n=10时,log2(10)≈3.32,向下取整是3,所以最大次数是3+1=4?或者可能我在这里搞混了? 或者更准确地说,对于长度为n的有序数组,最大查找次数等于将n不断二分直到剩下1个元素所需的次数。数学表达式应该是ceil(log2(n+1))。例如,当n=7时,log2(8)=3,所以是3次;当n=6时,log2(7)≈2.8,向上取整是3次。这可能更准确。 需要验证这个公式是否正确。比如n=1,最大次数是1;n=2,需要两次比较(第一次分成1和1,第二次确定)。如果公式是ceil(log2(n+1)),那么n=2时log2(3)=1.58,向上取整是2,正确。n=3时,log2(4)=2,正确。那这个公式是否适用? 另外,引用[4]中提到二分查找的步骤是将数组分成左右部分,可能需要考虑中间元素的比较方式,不同的实现可能影响最大次数,但一般情况下最大次数的公式应该是统一的。 总结:最大查找长度的计算公式是⌈log₂(n+1)⌉,或者写成floor(log2(n)) +1。需要确认这两种写法是否等价。例如,当n=7时,log2(7+1)=3,所以ceil是3;floor(log2(7))=2,加1得3,结果相同。当n=6时,ceil(log2(7))=3;floor(log2(6))=2,加1也是3。所以两种表达式是等价的。 因此,正确的公式应该是最大查找次数等于⌈log₂(n+1)⌉,或者floor(log2(n)) +1。需要以这个为基础来回答用户的问题,并给出推导过程。 另外,用户可能还需要具体的例子来理解,比如不同n值对应的最大查找次数。例如,n=8时,最大次数是4?或者n=8时,log2(8)=3,所以最大次数是3+1?或者可能之前的例子有误? 这里可能有个误区,比如当n=8时,二分查找的过程是:第一次分成两个4,第二次分成2,第三次分成1,所以最多需要4次?或者是不是三次? 比如,查找一个不存在的元素或者在最后一个位置时,可能需要比较次数。例如,数组长度为8,最大次数应该是3还是4? 比如,假设查找元素需要三次比较就能定位到。比如,第一次mid=4,第二次mid=2或6,第三次mid=1,3,5,7,第四次mid=0或对应位置。这可能需要根据具体的实现方式。 这个时候可能需要参考二叉判定树的结构。对于n个节点的二叉判定树,其深度为h,最大查找次数就是h。而根据二叉树的性质,深度为h的树最多有2^h -1个节点。因此,当n在2^(h-1)到2^h -1之间时,深度为h。例如,当n=7时,h=3;n=8时,h=4?因为2^3 -1=7,所以n=8需要h=4层? 这个时候可能需要更仔细的计算。例如,当n=8时,第一次mid=3(假设索引从0开始),分成左右各三个元素?或者不同的mid计算方式会影响树的结构? 可能我之前混淆了数组的索引方式和树的结构。比如,当数组长度为n时,二叉判定树的深度h满足:h = floor(log2(n)) +1。例如,n=8,log2(8)=3,所以h=4?或者h=3? 这个时候需要明确,最大查找次数等于二叉判定树的深度。对于n=1,深度是1;n=2,深度是2;n=3,深度是2;n=4,深度是3;n=8,深度是4? 或者可能我在这里犯了错误。例如,n=8的情况下,如果每次都能分割成两部分,那么最大次数应该是log2(8)=3次。比如,第一次mid=4,剩下4元素;第二次mid=2或6,剩下2元素;第三次mid=1,3,5,7,剩下1元素;第四次确定最后一个元素。这时候需要四次比较。 因此,正确的公式应该是最大查找次数等于floor(log2(n)) +1。例如,n=8时,log2(8)=3,加1得4次?这似乎矛盾,因为一般认为对于n=8,三次比较就能找到。 这个时候可能需要参考一些权威资料。例如,根据《算法导论》中的描述,二分查找最大比较次数是floor(log2(n)) +1。例如,当n=8时,最大次数是4,或者3? 或者可能我的理解有误。例如,每次比较后,区间被分为左、中、右,所以当元素在叶子节点时,需要比较次数等于树的深度。例如,对于n=7,树的深度是3,所以最大比较次数是3;n=8时,树的深度是4,所以需要4次比较。这可能才是正确的。 因此,正确的公式应该是最大查找次数等于⌈log2(n+1)⌉。例如,n=7,log2(8)=3,所以3次;n=8,log2(9)=3.17,向上取整得4次。或者,公式可以表示为floor(log2(n)) +1。例如,n=8,floor(log2(8))=3,加1得4次。 现在需要将这些内容整理成用户容易理解的中文回答,并引用相关的参考资料。例如,引用[1]提到二分查找的原理,引用[4]提到二分查找的基本步骤,可以作为支持。 最后,生成相关问题时要围绕最大查找长度的计算、推导过程、示例应用等。</think>### 二分查找最大查找长度计算公式 二分查找最大查找长度(即最坏情况下的比较次数)与数组长度 $n$ 的对数相关,其计算公式为: $$ \text{最大查找长度} = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1 $$ 或等价形式: $$ \text{最大查找长度} = \lceil \log_2(n+1) \rceil $$ #### 推导过程 1. **二叉判定树模型** 二分查找过程可视为一棵二叉判定树,其中每个节点对应一次比较操作。树的深度即为最大查找次数。对于长度为 $n$ 的数组,二叉判定树的深度 $h$ 满足: $$ 2^{h-1} < n \leq 2^h - 1 $$ 解得: $$ h = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1 $$ 2. **示例分析** - 当 $n=7$ 时,$\lfloor \log_2 7 \rfloor + 1 = 2 + 1 = 3$,对应判定树深度为 3[^1]。 - 当 $n=8$ 时,$\lfloor \log_2 8 \rfloor + 1 = 3 + 1 = 4$,需要最多 4 次比较[^4]。 #### 应用场景 - **有序数组查找**:适用于静态数据或预先排序的数据集。 - **性能要求严格场景**:对数时间复杂度 $O(\log n)$ 使其在大规模数据中优势明显[^1]。
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