[leetcode] pow(x,n)

实现浮点类型的幂运算，函数原型为:

double pow(double x, int n)

下面介绍一下解决该问题的几种方法以及要注意的地方：

1)最直观容易想到的方法就是用递归方法求n个x的乘积，注意考虑n的正负号，时间复杂度为O(n)

(注：有一个小问题，当n < 0时，此方法直接返回return 1.0/pow(x,-n)实际上是错误的，例如当int为32位时，n的最小值为-2147483648（-2^31)，-n为2147483648，溢出。故原文作者在本篇文章末尾提出了修改的方法return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x))

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1. double pow(double x, int n)  
2. {  
3.     if(n==0)  
4.         return 1.0;  
5.     if(n<0)  
6.         return 1.0/pow(x,-n);  
7.     return x*pow(x,n-1);  
8. }  

2)考虑到n个x相乘式子的对称关系，可以对上述方法进行改进，从而得到一种时间复杂度为O(logn)的方法，递归关系可以表示为pow(x,n) = pow(x,n/2)*pow(x,n-n/2)

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1. double pow(double x, int n)  
2. {  
3.     if(n==0)  
4.         return 1.0;  
5.     if(n<0)  
6.         return 1.0/pow(x,-n);  
7.     double half = pow(x,n>>1);  
8.     if(n%2==0)  
9.         return half*half;  
10.     else  
11.         return half*half*x;  
12. }  

3)除了上述方法，这里还提到了一种十分巧妙并且快速的方法，原文描述如下：

Consider the binary representation of n. For example, if it is "10001011", then x^n = x^(1+2+8+128) = x^1 * x^2 * x^8 * x^128. Thus, we don't want to loop n times to calculate x^n. To speed up, we loop through each bit, if the i-th bit is 1, then we add x^(1 << i) to the result. Since (1 << i) is a power of 2, x^(1<<(i+1)) = square(x^(1<<i)). The loop executes for a maximum of log(n) times.

该方法通过扫描n的二进制表示形式里不同位置上的1，来计算x的幂次

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1. double my_pow(double x, int n)  
2. {  
3.     if(n==0)  
4.             return 1.0;  
5.     if(n<0)  
6.         return 1.0 / pow(x,-n);  
7.     double ans = 1.0 ;  
8.     for(; n>0; x *= x, n>>=1)  
9.     {  
10.         if(n&1>0)  
11.             ans *= x;  
12.     }  
13.     return ans;  
14. }  

为了正确计算x的n次幂，还需要考虑到以下一些情况：

1) x取值为0时，0的正数次幂是1，而负数次幂是没有意义的；判断x是否等于0不能直接用“==”。

2) 对于n取值INT_MIN时，-n并不是INT_MAX，这时需要格外小心。

3) 尽量使用移位运算来代替除法运算，加快算法执行的速度。

最后附上自己在LeetCode上Accepted的代码：

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1. class Solution {  
2. public:  
3.     double pow(double x, int n) {  
4.         // Start typing your C/C++ solution below  
5.         // DO NOT write int main() function  
6.         if(n<0)  
7.         {  
8.             if(n==INT_MIN)  
9.                 return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x);  
10.             else  
11.                 return 1.0 / pow(x,-n);  
12.         }  
13.         if(n==0)  
14.             return 1.0;  
15.         double ans = 1.0 ;  
16.         for(;n>0; x *= x, n>>=1)  
17.         {  
18.             if(n&1>0)  
19.                 ans *= x;  
20.         }  
21.         return ans;  
22.     }  
23. };