半闲居士视觉SLAM十四讲笔记（3）三维空间刚体运动 - part 4 欧氏、相似、仿射、射影变换

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作者：宋洋鹏（youngpan1101）
邮箱： yangpeng_song@163.com

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三维空间的刚体运动描述方式

欧氏、相似、仿射、射影变换

Transformation	Matrix	DOF	不变性质	示意图
欧氏变换（Euclidean)	$T_{E} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol R} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol 0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$ 1) 旋转矩阵 ${\boldsymbol R}$ 是$\color{Red}{正交矩阵}$；	6	长度 夹角 体积
相似变换（Similarity）	$T_{S} = \begin{bmatrix} s{\boldsymbol R} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol 0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$ 1) 旋转部分多了一个$\color{Red}{缩放因子}$ $s$，可以在 $x,y,z$ 三个坐标上进行均匀的缩放；	7	体积比
仿射变换（Affine） 亦称 正交投影	$T_{A} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol A} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol 0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$ 1) 矩阵 ${\boldsymbol A}$ 是一个$\color{Red}{可逆矩阵}$，不必是正交矩阵； 2) 立方体经仿射变换之后不再是方的，但各个面仍是平行四边形；	12	平行性 体积比
射影变换（Projective）	$T_{P} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol A} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol a}^{T} & v \end{bmatrix}$ 1) 左上角为可逆矩阵 ${\boldsymbol A}$，右上为平移 ${\boldsymbol t}$，左下为缩放 ${\boldsymbol a}^{T}$ ； 2) 从真实世界到相机照片的变换可以看成一个射影变换； 3) 想象一个原来是方形的地板砖，在照片中不再是方形的，甚至不再是平行四边形，而是一个$\color{Red}{不规则的四边形}$	15	接触平面的相交和相切

ps: 四种变换的示意图引自 计算机视觉基础3——内部参数描述