B+树的结构

B+ 树是一种树数据结构，是一个n叉树，每个节点通常有多个孩子，
一颗B+树包含根节点、内部节点和叶子节点。根节点可能是一个叶子节点
，也可能是一个包含两个或两个以上孩子节点的节点。

B+ 树的特点是能够保持数据稳定有序，其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。B+ 树元素自底向上插入。    

B+树的定义

B+树是应文件系统所需而出的一种B-树的变型树。一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于：
1.有n棵子树的结点中含有n个关键字，每个关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。
2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。
通常在B+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。   

对B+树可以进行两种查找运算：
    1.从最小关键字起顺序查找；
    2.从根结点开始，进行随机查找。
    在查找时，若非终端结点上的关键值等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。
    因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。 



B+树的插入：
m阶B树的插入操作在叶子结点上进行，假设要插入关键值a，找到叶子结点后插入a，做如下算法判别：
①如果当前结点是根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则算法结束；

②如果当前结点是非根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则判断若a是新索引值时转步骤④后结束，若a不是新索引值则直接结束；

③如果插入后关键字数目大于m(阶数)，则结点先分裂成两个结点X和Y，并且他们各自所含的关键字个数分别为：u=大于(m+1)/2的最小整数，v=小于(m+1)/2的最大整数；
由于索引值位于结点的最左端或者最右端，不妨假设索引值位于结点最右端，有如下操作：
如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是根结点，则从X和Y中取出索引的关键字，将这两个关键字组成新的根结点，并且这个根结点指向X和Y，算法结束；
如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是非根结点，依据假设条件判断，如果a成为Y的新索引值，则转步骤④得到Y的双亲结点P，
如果a不是Y结点的新索引值，则求出X和Y结点的双亲结点P；然后提取X结点中的新索引值a’，在P中插入关键字a’，从P开始，继续进行插入算法；

④提取结点原来的索引值b，自顶向下，先判断根是否含有b，是则需要先将b替换为a，然后从根结点开始，记录结点地址P，
判断P的孩子是否含有索引值b而不含有索引值a，是则先将孩子结点中的b替换为a，然后将P的孩子的地址赋值给P，继续搜索，直到发现P的孩子中已经含有a值时，
停止搜索，返回地址P


一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：
所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，
且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。(而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)
所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。(而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

为什么说B+树比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

    B+树的磁盘读写代价更低
    B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。
    如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。
    一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
    举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。
    一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+树内部结点只需要1个盘快。
    当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。

    B+树的查询效率更加稳定
    由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。
    所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。