迭代求根

本文介绍了一个使用递归算法实现的平方根近似求解程序。该程序通过不断迭代来逼近目标数的平方根,并展示了如何用C语言实现这一算法。用户输入一个整数后,程序将返回该数的平方根近似值。






#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

double getfunc ( int a, double n )
{
	if (n == 0)
	{
           return 1;
	}

	return 0.5 * ( getfunc (a, n - 1 ) + a / getfunc (a, n - 1 ) );
}

int main()
{
	int a;
	scanf ( "%d", &a );

        double i = getfunc(a,10);
	printf ( "%.5lf", i );

	return 0;

}

### 使用Python实现牛顿迭代法求解方程的根 牛顿迭代法的核心思想是通过不断迭代来逼近目标方程的真实根。以下是基于给定引用内容以及专业知识的具体实现方法。 #### 实现步骤说明 为了实现牛顿迭代法,需要定义两个函数:一个是原函数 \(f(x)\),另一个是它的导数 \(f'(x)\)。随后按照以下公式进行迭代计算: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 当连续两次迭代的结果差值小于设定的误差阈值时,即可认为找到了近似解。 #### Python代码示例 下面是一个通用的Python实现,用于求解任意形式的一元多项式的根。 ```python def newton_raphson(f, df, initial_guess, tolerance=1e-7, max_iterations=1000): """ 使用牛顿迭代法求解方程 f(x) = 0 的根。 参数: f: 原始函数,接受一个参数并返回数值。 df: 函数 f 的导数,接受一个参数并返回数值。 initial_guess: 初始猜测值。 tolerance: 容忍度,默认为 1e-7。 max_iterations: 最大迭代次数,默认为 1000。 返回: 近似的根。 """ x = initial_guess for i in range(max_iterations): fx = f(x) dfx = df(x) if dfx == 0: raise ZeroDivisionError("导数值为零,无法继续计算") # 防止除以零 next_x = x - fx / dfx # 牛顿迭代公式 if abs(next_x - x) < tolerance: # 达到收敛条件 return next_x x = next_x # 更新当前估计值 raise Exception("达到最大迭代次数,未找到满足精度的解") # 示例:求解方程 f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 的根 import math def func(x): return x**3 - 2*x**2 - x + 2 # 方程 f(x) def dfunc(x): return 3*x**2 - 4*x - 1 # 导数 f'(x) initial_guess = 1.5 # 初始猜测值 root = newton_raphson(func, dfunc, initial_guess) print(f"方程的一个根约为 {root:.6f}") # 输出结果 ``` 上述代码实现了牛顿迭代法,并针对具体例子进行了测试。对于不同的方程,只需修改 `func` 和 `dfunc` 即可[^4]。 --- #### 关键点解释 1. **初始猜测值的选择**: 初始值会影响最终结果的准确性甚至可能影响是否能够成功找到根。通常可以通过观察函数图像或经验选择合适的初值[^1]。 2. **容忍度设置**: 耐心调整容忍度可以帮助获得更精确的结果。如果容忍度过高,则可能导致不准确;过低则会增加不必要的计算量[^3]。 3. **异常处理**: 如果导数在某一点上等于零,则会出现分母为零的情况,因此需特别注意这一点。 ---
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