Codeforces Round #554 (Div. 2) C. Neko does Maths（数论思维题）

题目链接：https://codeforces.com/contest/1152/problem/C

题意：现在有两个数n， m，你需要找到一个k，要求n+k, m+k的最小公倍数尽可能的小，如果有多个最小公倍数k要尽可能的小。

解题心得：

• $lcm=n\ast m/gcd$
• n+k和m+k的lcm要变小，那么加k之后肯定有更大的最大公因数，那么假设他们加上k之后拥有了公因数z
• 满足公式 $(n+k)\%z=(m+k)\%z$
• 公式可以展开化简变成 $n\%z=m\%z$
• 再合并一下变成：$(n-m)\%z=0$ (这里规定n>m)
• 这个公式说明n和m加上k之后产生的最大公因数必然是n-m的因子。这样就很简单了，直接把差值计算出来，然后将所有的因子找出来，每一次带入判定就行了。有一点很坑的就是k==0，这个时候也是最小公倍数最小的情况，需要特判一下不然WA63。

打比赛的时候脑子跟浆糊一样，公式都写出来就是反应不过来，好不容易反应过来了电脑卡崩了…

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
ll n, m;

vector <ll> prim;//存放n-m的素数因子

void get_prim(ll x) {
    for(int i=2;i*i<=x;i++) {
        while(x%i == 0) {
            prim.push_back(i);
            x/=i;
        }
    }

    if(x != 1) prim.push_back(x);
}

ll get_factor(ll x) {
    int pos = 0;
    ll ans = 1;
    while(x) {
        if(x&1) {
            ans *= prim[pos];
        }
        pos++;
        x>>=1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    if(m < n) swap(n, m);
    if(m % n == 0) {
        puts("0");
        return 0;
    }

    ll Min = LLONG_MAX, ans = LLONG_MAX;
    ll minus = m - n, n1, m1;

    get_prim(minus);

    for(int i=1;i<(1<<prim.size());i++) {
        ll temp = get_factor(i);//枚举所有的因子

        n1 = (n/temp + 1) * temp;//n1 = n+k
        m1 = (m/temp + 1) * temp;//m1 = m+k

        ll temp2 = n1*m1/__gcd(n1, m1);
        if(temp2 <= Min) {
            if(temp2 < Min) {
                ans = n1;
            } else if(temp2 == Min && n1 < ans) { //都是最小最小公倍数的时候找小的
                ans = n1;
            }

            Min = temp2;
        }
    }

    //特判k == 0
    ll temp = n*m/__gcd(n, m);
    if(temp <= Min) {
        ans = n;
    }

    cout<<ans-n<<endl;
    return 0;
}