第二十三题：连续子数组的最大和

题目描述

HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

解题思路

1.用暴力的方法，找出所有可能的子数组，然后找和最大的那个。这是可行的，但是时间复杂度为 n*n，显然是不够理想的。

2.不需要动态规划，时间复杂度也为 n 。我们从头开始累加数组的元素，初始值 sum 为 0 。第一步 把 1 累加 则 sum = 1,接着 -2 累加 sum  = -1，再接着 3 累加 sum = 2，但是此时我们发现 sum < 3，也就是说从第一个元素开始累加到第三个元素的 和 sum  比 第三个元素还要小，那么我们舍去前面的累加值，从第三个元素开始累加 ，此时 sum = 3。继续上述步骤，直至遍历到数组的最后一个元素。

3.动态规划思想。状态方程 ： max( dp[ i ] )  = getMax(  max( dp[ i -1 ] ) + arr[ i ] ,arr[ i ] ) 。上面式子的意义是：我们从头开始遍历数组，遍历到数组元素 arr[ i ] 时，连续的最大的和 可能为 max( dp[ i -1 ] ) + arr[ i ] ，也可能为 arr[ i ] ，做比较即可得出哪个更大，取最大值。时间复杂度为 n

使用动态规划F（i）：以array[i]为末尾元素的子数组的和的最大值，子数组的元素的相对位置不变

F（i）=max（F（i-1）+array[i] ， array[i]）

res：所有子数组的和的最大值

res=max（res，F（i））

如数组[6, -3, -2, 7, -15, 1, 2, 2]

初始状态：

    F（0）=6

    res=6

i=1：

    F（1）=max（F（0）-3，-3）=max（6-3，3）=3

    res=max（F（1），res）=max（3，6）=6

i=2：

    F（2）=max（F（1）-2，-2）=max（3-2，-2）=1

    res=max（F（2），res）=max（1，6）=6

i=3：

    F（3）=max（F（2）+7，7）=max（1+7，7）=8

    res=max（F（2），res）=max（8，6）=8

i=4：

    F（4）=max（F（3）-15，-15）=max（8-15，-15）=-7

    res=max（F（4），res）=max（-7，8）=8

以此类推

最终res的值为8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

public  int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {         int res = array[0]; //记录当前所有子数组的和的最大值         int max=array[0];   //包含array[i]的连续数组最大值         for (int i = 1; i < array.length; i++) {             max=Math.max(max+array[i], array[i]);             res=Math.max(max, res);         }         return res; }