41、机器学习中的可实现情况上界与多类可学习性

机器学习中的可实现情况上界与多类可学习性

在机器学习领域，可实现情况的上界以及多类可学习性是非常重要的研究方向。下面我们将详细探讨相关内容。

可实现情况的上界

首先，我们来看可实现情况下的上界问题。设 $\omega = \frac{1}{\rho}(L_D(A(S)) - \min_{h\in H} L_D(h))$，且 $\omega \in [0,1]$。通过引理 B.1，我们可以得到：
$P[L_D(A(S)) - \min_{h\in H} L_D(h) > \epsilon] = P[\omega > \frac{\epsilon}{\rho}] \geq E[\omega] - \frac{\epsilon}{\rho} \geq \frac{1}{4} - \frac{\epsilon}{\rho}$。
当选择 $\rho = 8\epsilon$ 时，如果 $m < \frac{8d}{\epsilon^2}$，那么至少以 $\frac{1}{8}$ 的概率有 $L_D(A(S)) - \min_{h\in H} L_D(h) \geq \epsilon$。

接下来，我们要证明存在常数 $C$，使得假设类 $H$ 在样本复杂度 $m_H(\epsilon,\delta) \leq C \frac{d \ln(1/\epsilon) + \ln(1/\delta)}{\epsilon}$ 下是 PAC 可学习的。我们通过证明对于 $m \geq C \frac{d \ln(1/\epsilon) + \ln(1/\delta)}{\epsilon}$，使用 ERM 规则可以学习 $H$ 来完成这个证明，而这基于 $\epsil