37、机器学习中的生成模型与特征选择

机器学习中的生成模型与特征选择

1. 生成模型参数估计

在机器学习的生成方法中，我们旨在对数据的分布进行建模。特别是在参数密度估计中，我们假设数据的底层分布具有特定的参数形式，目标是估计模型的参数。以下是几种常见的参数估计原则：

1.1 最大似然估计

最大似然原则由 Ronald Fisher 在 20 世纪初提出。以高斯变量的方差估计为例，最大似然估计量是有偏的。对于一个高斯变量，其最大似然估计的方差计算公式为：
[
\hat{\sigma}^2_{ML} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x})^2
]
可以证明这个估计是有偏的。

1.2 贝叶斯估计

贝叶斯统计遵循贝叶斯规则，该规则以 18 世纪英国数学家 Thomas Bayes 的名字命名。贝叶斯预测的表达式为：
[
P[X = x|S] = \frac{1}{P[S]} \sum_{\theta} P[X = x|\theta] \prod_{i=1}^{m} P[X = x_i|\theta]P[\theta]
]
在药物公司的例子中，可将其重写为：
[
P[X = x|S] = \frac{1}{P[S]} \int \theta^{x + \sum_{i} x_i} (1 - \theta)^{1 - x + \sum_{i} (1 - x_i)} P[\theta] d\theta
]
当 (P[\theta]) 为均匀分布时，有：
[
P[X = x|S] \propto \i