46、非线性丢番图方程与椭圆曲线：模素数椭圆曲线的深入探究

非线性丢番图方程与椭圆曲线：模素数椭圆曲线的深入探究

1. 椭圆曲线基础回顾

椭圆曲线在数论问题的解决中扮演着重要角色，并且有着广泛的应用。常见的椭圆曲线方程形式为 (y^{2}=x^{3}+ax + b)，其中 (a) 和 (b) 为实数，且满足 (4a^{3}+27b^{2}\neq0)。我们既可以在实数域上研究椭圆曲线，也能在有理数域上进行探讨，此时关注的是满足方程的有理数点 ((x,y))。

2. 模素数椭圆曲线的定义

当我们将研究范围拓展到模素数 (p)（(p) 为奇素数）的整数域时，椭圆曲线 (E_{p}(a,b)) 的定义如下：设 (a) 和 (b) 是大于 1 的正整数，且 ((4a^{2}+27b^{2},p)=1)，则 (E_{p}(a,b)) 是满足同余方程 (y^{2}\equiv x^{3}+ax + b\pmod{p}) 的整数点 ((x,y)) 以及无穷远点 (\infty) 的集合。与实数域上的椭圆曲线不同，模素数椭圆曲线是离散的点集。

3. 寻找模素数椭圆曲线上的点

要找出 (E_{p}(a,b)) 上的点，关键在于判断 (x^{3}+ax + b) 是否为模 (p) 的二次剩余。具体步骤如下：
1. 对于 (x = 0,1,\cdots,p - 1) 每个值，计算 (c=x^{3}+ax + b\pmod{p})。
2. 根据 (c) 的情况确定 (y) 的值：
- 若 (c) 是模 (p) 的非零二次剩余，则存在两个 (y) 值使得 (y^{2}\equiv c\pmod{p})。
- 若 (c) 不是模 (p) 的二次剩余，则不存在满足 (y^{2}\e