43、非线性丢番图方程、椭圆曲线与费马大定理

非线性丢番图方程、椭圆曲线与费马大定理

1. 非线性丢番图方程相关问题

在研究非线性丢番图方程时，有一系列有趣的问题，比如寻找各种曲线和曲面上的有理点：
- 圆和椭圆上的有理点
- 对于单位圆 (x^{2}+y^{2}=1)，可以通过确定单位圆与过点 ((1,0)) 且斜率 (t) 为有理数的直线的交点，来找出单位圆上的所有有理点；同样，也可以通过单位圆与过点 ((0,1)) 且斜率 (t) 为有理数的直线的交点来寻找。
- 对于圆 (x^{2}+y^{2}=2)，可通过该圆与过点 ((1,1)) 且斜率 (t) 为有理数的直线的交点，找出圆上的所有有理点。
- 对于椭圆 (x^{2}+3y^{2}=4)，通过椭圆与过点 ((1,1)) 且斜率 (t) 为有理数的直线的交点，找出椭圆上的所有有理点。
- 对于椭圆 (x^{2}+xy + y^{2}=1)，通过椭圆与过点 ((-1,0)) 且斜率 (t) 为有理数的直线的交点，找出椭圆上的所有有理点。
- 双曲线和球面上的有理点
- 对于双曲线 (x^{2}-dy^{2}=1)（(d) 为正整数），通过双曲线与过点 ((-1,0)) 且斜率 (t) 为有理数的直线的交点，找出双曲线上的所有有理点。
- 对于单位球面 (x^{2}+y^{2}+z^{2}=1)，可利用单位球到平面 (z = 0) 的球极投影。该投影将球面上的点 ((x,y,z)) 映射到平面 (z = 0) 上的点 ((u,v,0))，此点是过点 ((x,y,z)) 和球的北极点 ((0,0,1)) 的直线与平面 (z = 0) 的交点。通过两个对应于