33、整数阶的应用：伪随机数生成技术解析

整数阶的应用：伪随机数生成技术解析

1. 随机数与伪随机数概述

随机数在众多领域都有重要应用，比如在核物理、运筹学和数据网络等领域的计算机模拟中，随机数可用于构建随机样本，以研究系统在无法测试所有可能情况时的行为。在数值分析中，可利用随机数通过黎曼和来估计积分；在数论里，随机数用于概率素性测试；在密码学中，随机数用于生成加密密钥和执行加密协议。

早期，科学家通过掷骰子、转轮盘、从瓮中取球、发牌或从表格数据（如人口普查报告）中获取随机数字来生成随机数。20世纪40年代发明了产生随机数的机器，50年代计算机开始使用随机噪声发生器生成随机数。然而，机械过程产生的随机数常因计算机硬件故障而出现偏差，且使用物理现象生成的随机数无法重现以验证计算机程序的结果。

1946年，约翰·冯·诺伊曼提出使用计算机程序生成随机数的想法，即中平方方法。以生成四位数随机数为例，先取一个任意四位数，如6139，将其平方得到37,687,321，取中间四位数6873作为第二个随机数，重复此过程得到随机数序列。但中平方方法存在弱点，对于很多初始整数的选择，该方法会反复生成相同的小数字集。例如，以4100为初始四位数，使用中平方方法会得到序列8100, 6100, 2100, 4100, 8100, 6100, 2100, …，在重复前只有四个不同的数字。

2. 线性同余生成法

线性同余法是最常用的伪随机数生成方法，由D. H. Lehmer在1949年引入。选择整数m、a、c和x0，满足2 ≤ a < m，0 ≤ c < m，且x0 ≥ 0，伪随机数序列通过递归定义：
[
x_{n + 1} \equiv ax_n + c \pmod{m