32、数论中的原根、素性测试与通用指数

数论中的原根、素性测试与通用指数

1. 原根相关基础结论

• 幂剩余问题
  • 当 (e\geq2) 时，若 (k) 为奇数正整数，那么每个奇数 (a) 都是 (2^e) 的 (k) 次幂剩余。
  • 若 (k) 为偶数，整数 (a) 是 (2^e) 的 (k) 次幂剩余当且仅当 (a\equiv1\pmod{(4k, 2^e)})。
  • 当 (e\geq2) 且 (k) 为正整数时，(2^e) 的不同 (k) 次幂剩余的个数为 (\frac{2^{e - 1}}{(k, 2)(k, 2^{e - 2})})。
• 同余方程解的个数 ：设 (p) 为奇素数，(N = 2^ju)（(j) 为非负整数，(u) 为奇正整数），(p - 1 = 2^st)（(s)、(t) 为正整数且 (t) 为奇数）。当 (0\leq j\leq s - 1) 时，同余方程 (x^N\equiv - 1\pmod{p}) 有 (2^j(t, u)) 个不同解；否则无解。
• 强伪素数概率
  • 仅当 (n) 具有特定素因数分解形式时，随机选取 (1\leq b\leq n - 1) 作为底数，(n) 是强伪素数的概率接近 (\frac{1}{4})。这些形式包括 (n = p_1p_2)（(p_1 = 1 + 2q_1)，(p_2 = 1 + 4q_2)，(q_1)、(q_2) 为素数）或 (n = p_1p_2p_3)（(p_1 = 1 + 2q_1)，(