22、数论中的欧拉定理与算术函数

数论中的欧拉定理与算术函数

1. 欧拉定理的背景与相关概念

在数论中，费马小定理为我们处理模为素数时涉及指数的同余问题提供了方法。然而，当模为合数时，我们需要寻找类似的同余关系。伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在这方面做出了重要贡献。1736 年，欧拉发表了费马小定理的证明；1760 年，他找到了费马小定理同余式对于合数的自然推广。

在介绍这个推广之前，我们需要引入欧拉函数(\varphi(n))。其定义为：设(n)为正整数，(\varphi(n))是不超过(n)且与(n)互素的正整数的个数。欧拉函数也被称为欧拉商数函数，这个名称是由英国数学家 J. J. 西尔维斯特（J. J. Sylvester）在 1879 年引入的。以下是(1\leq n\leq12)时(\varphi(n))的值：
| (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| (\varphi(n)) | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 10 | 4 |

接下来，我们引入简化剩余系的概念。模(n)的简化剩余系是由(\varphi(n))个整数组成的集合，集合中的每个元素都与(n)互素，且集合中任意两个不同元素模(n)不同余。例如，({1, 3, 5, 7})是模 8 的一个简化剩余系，({-3, -1, 1, 3})也是模 8 的简化剩余系。

下面的定理对于简化剩余系是一个重要工具：