8、群体公平性与帕累托效率：理论与实践

群体公平性与帕累托效率：理论与实践

1. 群体帕累托效率

1.1 群体帕累托效率的分类

对于算术平均群体效用，存在一系列群体帕累托效率的概念。这里给出了固定规模群体（GPEk，k ∈ [1, n)）之间严格蕴含关系的分类，其分类情况如下图所示：

graph LR;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A(GPE1):::process --> B(GPE2):::process;
    B --> C(...);
    C --> D(GPEn-1):::process;
    D --> E(GPEn):::process;

该分类包含 n 个群体帕累托效率的公理性质。其中，1 - 群体帕累托效率等同于帕累托效率，n - 群体帕累托效率等同于功利主义效率。并且，第 k 层的性质正好介于第 (k - 1) 层和第 (k + 1) 层之间，这意味着对于任意 k ∈ [1, n] 和 j ∈ [1, k]，k - 群体帕累托效率蕴含 j - 群体帕累托效率。

1.2 定理证明：GPEk 蕴含 GPEj

定理 4 表明，对于 k ∈ [1, n]，j ∈ [1, k] 和算术平均群体效用，GPEk 蕴含 GPEj。证明过程采用逆向归纳法：
1. h = k 时 ：证明是平凡的。
2. h > j 时 ：假