真值 机器码 原码 反码 补码

在计算机中，数都是以补码的形式存在，运算也都是以补码进行运算。补码有两个优点：一个是能够计算减法，另外一个就是统一正零和负零。

 二进制数与十进制数一样有正负之分。在计算机中，常采用数的符号和数值一起编码的方法来表示数据。常用的有原码、反码、补码、移码等。这几种表示法都将数据的符号数码化。为了区分一般书写时表示的数和机器中编码表示的数，我们称前者为真值，后者为机器数或机器码。

1. 原码表示法

原码表示法是一种比较直观的表示方法，其符号位表示该数的符号，正用“0”表示，负用“1”表示；而数值部分仍保留着其真值的特征。

若定点小数的原码形式为 x₀ . x₁ x₂ … x_n ，则原码表示的定义是：

[ｘ]原＝ { ｘ　　　　　　　1＞ｘ≥0 1－ｘ＝1＋|ｘ|　0≥ｘ＞－1

式中[ｘ]_原是机器数，ｘ是真值

例如，ｘ＝+0.1001,则[ｘ]_原＝0.1001

　　　ｘ＝-0.1001,则[ｘ]_原＝1.1001

若定点整数的原码形式为 x₀ x₁ x₂ … x_n，则原码表示的定义是:

[ｘ]原＝ { ｘ　　　　　　　　2n＞ｘ≥0 2n－ｘ＝2n＋|ｘ|　0≥ｘ＞－2n

原码表示法有两个特点：

零的表示有“+ 0”和“- 0”之分，故有两种形式：

[+ 0]_原 = 0.000…0

[- 0]_原 = 1.000…0

符号位 x₀ 的取值由下式决定：

ｘ0＝ { 0　　　　　　　　ｘ≤0 ｘ≥0

原码表示法的优点是比较直观、简单易懂，但它的最大缺点是加法运算复杂。这是因为，当两数相加时，如果是同号则数值相加；如果是异号，则要进行减法。而在进行减法时，还要比较绝对值的大小，然后减去小数，最后还要给结果选择恰当的符号。显然，利用原码作加减法运算是不太方便的。为了解决这些矛盾，人们找到了补码表示法。

2. 补码表示法

由于计算机的运算受一定字长的限制，属于有模运算，所以，在计算机中可以使用补码进行计算。在定点小数机器中数最大不超过1，也就是负的小数对“1”的补码是等价的。但实际上，负数的符号位还有一个“1”，要把它看成数的一部分，所以要对2求补码，也就是以2为模数。

若定点小数的补码形式为x₀ . x₁ x₂ … x_n ，则补码表示的定义是:

[ｘ]补＝ { ｘ　　　　　　　1＞ｘ≥0 2＋ｘ＝2－|ｘ|　0≥ｘ≥－1 (mod 2)

对于0，在补码情况下只有一种表示形式，即

[+ 0]_补 = [- 0]_补 = 0.000…0

对于定点整数 x₀ x₁ x₂ … x_n，补码表示的定义是：

[ｘ]补＝ { ｘ　　　　　　　 　2n＞ｘ≥0 2n+1+ｘ＝2n+1-|ｘ|　0≥ｘ≥－2n (mod 2n＋1)

采用补码表示法进行减法运算就比原码方便多了。因为不论数是正还是负，机器总是做加法，减法运算可变成加法运算。但根据补码定义，正数的补码与原码形式相同，而求负数的补码要减去|x|。为了用加法代替减法，结果还得在求补码时作一次减法，这显然是不方便的。从下面介绍的反码表示法中可以获得求负数补码的简便方法，解决负数的求补问题。

3. 反码表示方法

反码表示法中，符号的表示法与原码相同。正数的反码与正数的原码形式相同；负数的反码符号位为1，数值部分通过将负数原码的数值部分各位取反(0变1，1变0)得到。

若定点小数的反码形式为x₀ . x₁ x₂ … x_n ，则反码表示的定义是:　

[ｘ]反＝ { ｘ　　　　　　1＞ｘ≥0 (2－2-n)＋ｘ　0≥ｘ＞－1

对于0，在反码情况下只有两种表示形式，即

[+ 0]_反 = 0.000…0

[- 0]_反 = 1.111…1

对于定点整数 x₀ x₁ x₂ … x_n ，反码表示的定义是：

[ｘ]反＝ { ｘ　　　　　　　 　2n＞ｘ≥0 (2n+1-1)+ｘ      　0≥ｘ≥－2n

我们分别比较小数与整数的反码与补码的公式可得到：

[ x]_补 = [x]_反 + 2 ^-n         (0 ＞ x ≥ -1)

[ x]_补 = [ x]_反 + 1         (0 ＞ x ≥ -2 ^-n)

这就是通过反码求补码的重要公式。这两个公式告诉我们，若要一个负数变补码，其方法是符号位置 1，其余各位取反，然后在最末位上加 1 。

4. 移码表示法

移码通常用于表示浮点数的阶码。阶码是个n位的整数，假定定点整数移码形式为x₀ x₁ x₂ … x_n 时，移码的定义是：

[ｘ]移＝2n＋ｘ　　2n＞ｘ≥－2n

由移码的定义式可知，对于同一个整数，其移码与其补码数值位完全相同，而符号位正好相反。

在上面所述的数据四种机器表示法中，移码表示法主要用于表示浮点数的阶码。由于补码表示对加减运算十分方便，因此目前机器中广泛采用补码表示法。在这类机器中，数用补码表示，补码存储，补码运算。也有些机器，数用原码进行存储和传送，运算时改用补码。还有些机器在做加减法时用补码运算，在作乘法时用原码运算。