【困难】力扣算法题解析LeetCode52：N皇后 II

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题目详情

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n × n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击（皇后可以攻击同一行、同一列、同一对角线上的其他皇后）。
给定一个整数 n，返回 n 皇后问题不同的解决方案的数量。

示例 1：

输入：n = 4
输出：2
解释：4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：
输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 9

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解题思路

核心思路： 使用深度优先搜索（DFS）与位运算优化，逐行放置皇后，并通过三个整数记录列、主对角线和副对角线的占用状态，避免冲突。

1. 状态表示：

   • cols：整数的二进制位表示列的占用情况（第 i 位为 1 表示第 i 列已被占用）。
   • diag1：整数的二进制位表示主对角线（左上到右下）的占用情况。主对角线索引为 row - col + n - 1（确保非负）。
   • diag2：整数的二进制位表示副对角线（右上到左下）的占用情况。副对角线索引为 row + col。

2. 递归放置皇后：

   • 从第 0 行开始，逐行放置皇后。
   • 对当前行的每一列进行尝试：
     • 检查列、主对角线、副对角线是否冲突（通过位运算快速判断）。
     • 若无冲突，更新状态（设置对应位为 1），递归处理下一行。
   • 递归终止：当行数 row == n 时，表示找到一种解法，计数加 1。

3. 位运算优化：

   • 冲突检测：通过 & 运算检查目标位是否为 1。
   • 状态更新：通过 | 运算设置新状态，并作为参数传递到下一层递归，避免显式回溯。

优点：

• 时间优化：位运算实现快速冲突检测，时间复杂度为 O(n!)。
• 空间优化：仅用三个整数记录状态，空间复杂度为 O(1)。

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代码实现（Java）

class Solution {
    public int totalNQueens(int n) {
        return dfs(0, n, 0, 0, 0);
    }
    
    private int dfs(int row, int n, int cols, int diag1, int diag2) {
        if (row == n) {
            return 1; // 所有行放置完成，找到一种解法
        }
        int count = 0;
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // 计算主对角线和副对角线的索引
            int d1 = row - col + n - 1; // 主对角线索引（确保非负）
            int d2 = row + col;         // 副对角线索引
            
            // 检查列、主对角线、副对角线是否冲突
            if ((cols & (1 << col)) != 0) continue;   // 列冲突
            if ((diag1 & (1 << d1)) != 0) continue;   // 主对角线冲突
            if ((diag2 & (1 << d2)) != 0) continue;   // 副对角线冲突
            
            // 递归下一行，更新状态（设置对应位为1）
            count += dfs(row + 1, n, 
                         cols | (1 << col), 
                         diag1 | (1 << d1), 
                         diag2 | (1 << d2));
        }
        return count;
    }
}

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代码说明

1. 递归函数 dfs 参数：

   • row：当前处理的行。
   • n：棋盘大小。
   • cols：列占用状态（二进制位表示）。
   • diag1：主对角线占用状态。
   • diag2：副对角线占用状态。

2. 关键操作：

   • 冲突检测：使用 (state & (1 << index)) != 0 检测目标位是否被占用。
   • 状态更新：通过 state | (1 << index) 设置新状态，并传递至下一层递归。
   • 递归终止：当 row == n 时，返回 1 表示找到一种解法。

3. 返回值：

   • 递归过程中累加所有可行解的数量。

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