[tsinsen1210]光棱坦克——动态规划+前缀和优化

最新推荐文章于 2024-04-07 15:45:17 发布

ylsoi

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分类专栏：动态规划前缀和优化

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前缀和优化

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本文介绍了一种解决特定条件下点列计数问题的算法，通过按x坐标排序并使用动态规划方法，有效地计算满足特定顺序和位置约束的点序列数量。算法详细展示了状态转移方程和优化过程，最终输出在指定模数下的结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

一个平面直角坐标系上，有N个点，标号为1到N，其中第i个点的坐标为(x[i], y[i])。
　　求满足以下两个条件的点列{p[i]}的数目（假设{p[i]}的长度为M）：
　　1) 对任意1 <= i < j <= M，必有y[p[i]] > y[p[j]]；
　　2) 对任意3 <= i <= M，必有x[p[i-1]] < x[p[i]] < x[p[i-2]]或者x[p[i-2]] < x[p[i]] < x[p[i-1]]。
　　求满足条件的非空序列{p[i]}的数目，结果对一个整数Q取模。

思路：

正常情况下都是按照y坐标排序转移，这里提供一种按照x坐标从小到大排序的转移方法。
这里记dp[i][0/1]表示以第i个点为链条的起始点，在左边或者右边的方案。
注意到这里的dp好像不太一样，于是dp可以向前转移。
1.如果y[j]<y[i]，那么则直接从dp[j][0]->dp[i][1]。
2.如果y[j]>y[i]，那么有i->j，也就是i连在了j的后面，但是要求i的下面的结点不能在横坐标上小于j，于是转移为j<k<i,y[k]<y[i],dp[k][0]->dp[j][0]。直接转移 $n^3$ ，记录前缀和优化成 $n^2$ 。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(register int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
	freopen("tsinsen1210.in","r",stdin);
	freopen("tsinsen1210.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
	T __=0,mul=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')mul=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
	_=__*mul;
}

const int maxn=7000+10;
int n;
pii a[maxn];
ll mod,dp[maxn][2],sum[maxn],ans;

void add(ll &_,ll __){_=(_+__)%mod;}

void work(){
	REP(i,1,n){
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		dp[i][0]=dp[i][1]=1;
		REP(j,1,i-1)if(a[j].se<a[i].se){
			add(dp[i][1],dp[j][0]);
			add(sum[j],sum[j-1]);
			add(sum[j],dp[j][0]);
		}
		else sum[j]=sum[j-1];
		REP(j,1,i-1)if(a[j].se>a[i].se){
			add(dp[j][0],1);
			add(dp[j][0],sum[i-1]-sum[j]);
		}
		//REP(j,1,n)printf("j=%d %lld %lld\n",j,dp[j][0],dp[j][1]);
		//cout<<"------------"<<endl;
	}
	REP(i,1,n)add(ans,dp[i][0]),add(ans,dp[i][1]);
	ans=((ans-n)%mod+mod)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	File();
	read(n); read(mod);
	REP(i,1,n)read(a[i].fi),read(a[i].se);
	sort(a+1,a+n+1);
	work();
	return 0;
}