[bzoj2803][Poi2012]Prefixuffix——思维+复杂度分析+字符串哈希

最新推荐文章于 2024-08-11 21:46:22 发布

ylsoi

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分类专栏：字符串哈希思维题

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本文探讨了如何通过枚举断点和使用哈希技术来判断两个字符串是否为循环同构，即一个字符串的后缀能否移动到开头形成另一个字符串。提出了一种高效的算法，能在Θ(n)时间内找到最长的前缀和后缀，使得它们循环同构。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

对于两个串S1、S2，如果能够将S1的一个后缀移动到开头后变成S2，就称S1和S2循环相同。例如串ababba和串abbaab是循环相同的。
给出一个长度为n的串S，求满足下面条件的最大的L：

L<=n/2
S的L前缀和S的L后缀是循环相同的。

思路：

既然是循环同构，那么前一段和后一段一定可以表示为这样的形式：s1+s2，s2+s1。
于是我们去枚举这个断点，然后判断两边是否相同和中间相同的最大值。
判断相同可以用哈希，考虑怎么求去掉一段前后缀之后首尾相同的最大长度：
设f[i]为以i开始的最长相同的长度，假设目前相同的区间是[i,p]=[n-p+1,n-i+1]，那么不难发现 [i+1,p-1]=[n-p+2,n-i+2]，于是f[i+1]>=f[i]-2，即f至多减少2，于是我们直接从p-1枚举，找到最大的为止。
但是这样并没有优化复杂度，因为这要便历整个串才能找到最大的，于是我们倒着推，即每一次f至多增加2，倒着枚举只需要找到第一个满足条件的就好了，这样可以保证是最大的。
这样的复杂度是 $Θ(n)\Theta(n)$ 的，指针至多只会往后跳n次，其余的时间都在单调向前移动，即移动的长度至多为n*2。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
	freopen("bzoj2803.in","r",stdin);
	freopen("bzoj2803.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
	T __=0,mul=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')mul=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
	_=__*mul;
}

const int maxn=1e6+10;
const ll base=97;
const ll ma=19260817;
const ll mb=998244353;
int T,n,s[maxn],ans;
char S[maxn];
ll pa[maxn],pb[maxn],sa[maxn],sb[maxn];

ll Hash(int l,int r,bool ty){
	if(ty==0)return ((sa[r]-sa[l-1]*pa[r-l+1])%ma+ma)%ma;
	else return ((sb[r]-sb[l-1]*pb[r-l+1])%mb+mb)%mb;
}

void init(){
	read(n);
	scanf("%s",S+1);
	n=strlen(S+1);
	REP(i,1,n)s[i]=S[i]-'a'+1;
	REP(i,1,n){
		sa[i]=(sa[i-1]*base+s[i])%ma;
		sb[i]=(sb[i-1]*base+s[i])%mb;
	}
}

bool judge(int l1,int r1,int l2,int r2){
	return Hash(l1,r1,0)==Hash(l2,r2,0) && Hash(l1,r1,1)==Hash(l2,r2,1);
}

void work(){
	int p=n/2-1;
	DREP(i,n/2,1){
		++p;
		p=min(p,n/2);
		while(!judge(i,p,n-p+1,n-i+1))--p;
		if(judge(1,i-1,n-i+2,n))ans=max(ans,p);
	}
	printf("%d\n",ans);
}

int main(){
	File();
	pa[0]=pb[0]=1;
	REP(i,1,maxn-10){
		pa[i]=pa[i-1]*base%ma;
		pb[i]=pb[i-1]*base%mb;
	}
	init();
	work();
	return 0;
}