[bzoj1132][POI2008]Tro——极角排序+叉积

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极角排序

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本文介绍了一种高效算法，用于计算平面上N个点构成的所有三角形的面积总和。通过固定一个原点并按极角排序，算法避免了向量叉乘符号问题，利用前缀和优化计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

平面上有N个点. 求出所有以这N个点为顶点的三角形的面积和 N<=3000。

思路：

考虑固定一个原点，以这个点为原点引出向量，然后枚举另外一个点，计算它和其它所有向量的叉乘之和。
但是这样会出现问题，向量的叉积是有方向的，某一个向量与其它所有向量的叉乘可能即有正也有负，不好直接计算。
于是一个神奇的做法出现了，按照极角排序的顺序枚举原点，然后只处理这个点后面的点，这样不难发现，对于每一次处理，这个原点引出的向量跨度不会超过180度，于是叉乘的符号一定只会有一种，直接前缀和优化即可。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
	freopen("bzoj1132.in","r",stdin);
	freopen("bzoj1132.out","w",stdout);
}

const int maxn=3000+10; 
int n,tot;
ll ans;

struct point{ll x,y;}p[maxn],qu[maxn],o; 
ll cross(point a,point b,point c){return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);}
bool cmp(point b,point c){
	ll cr=cross(o,b,c);
	if(cr!=0)return cr>0;
	return b.x<c.x;
}

void init(){
	scanf("%d",&n);
	REP(i,1,n)scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
	o=(point){0,0};
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
}

void work(){
	REP(i,1,n-1){
		tot=0; o=p[i];
		REP(j,i+1,n)qu[++tot]=p[j];
		sort(qu+1,qu+tot+1,cmp);
		ll sumx=0,sumy=0;
		REP(j,1,tot){
			ans+=(qu[j].y-o.y)*sumx-(qu[j].x-o.x)*sumy;
			sumx+=qu[j].x-o.x;
			sumy+=qu[j].y-o.y;
		}
	}
	printf("%.1Lf\n",(long double)ans/2);
}

int main(){
	File();
	init();
	work();
	return 0;
}