算法设计 ----网络流------二分匹配

最新推荐文章于 2023-12-27 17:56:18 发布
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本文介绍了二部图中的匹配概念，包括最大匹配和完美匹配。通过构造流网络，利用最大流问题的算法可以找到二部图的最大匹配。Hall's marriage theorem在二部图完美匹配中的应用也进行了探讨。

一、介绍几个概念

  • Matching:    Given 一个无向图G(V,E)，M是E的一个子集，若G中的每个节点至多出现在M中的一条边上，就说M是一个Matching。
  • Max Matching：G中最大规模的匹配。
  • bipartitle：无向图、节点集合可以被划分为两个集合L和R、图中的每个边e的一个端点在L中，另一个端点在R中。
  • Bipartitle matching：Given 一个二部图，找到它的一个最大匹配。（在二部图中寻找一对一的匹配问题）

二、使用最大流问题的算法找最大匹配

  • 构造流网络：

 

将二部图G构造为如上的图G' = (L \bigcup R \bigcup \left \{ s,t \right \}, E')，L到R的边添加方向L->R，s->L，R->t。

Theorem： 1–1 correspondence between matchings of cardinality k in G  and integral flows of value k in Gʹ.                                       

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