二叉树及其应用

最新推荐文章于 2024-03-06 15:57:50 发布

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#二叉树遍历 #非递归遍历

本文介绍了二叉树的基本概念，包括满二叉树和完全二叉树的定义，以及二叉树的相关术语。重点讲解了二叉树的三种遍历方式：先根、中根和后根次序遍历，并提到了递归构建二叉树的方法。最后，通过代码示例展示了二叉树的应用。

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1.二叉树
在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，则n_0=n_2+1。
一棵深度为k，且有2^k-1个节点称之为满二叉树；深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。

2.相关术语
树的结点：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；
孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子；
双亲结点：B 结点是A 结点的孩子，则A结点是B 结点的双亲；
兄弟结点：同一双亲的孩子结点；堂兄结点：同一层上结点；
祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的所有结点子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙
结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；
树的深度：树中最大的结点层
结点的度：结点子树的个数
树的度：树中最大的结点度。
叶子结点：也叫终端结点，是度为 0 的结点；
分枝结点：度不为0的结点；

3.遍历顺序
遍历是对树的一种最基本的运算，所谓遍历二叉树，就是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有结点，使每一个结点都被访问一次，而且只被访问一次。由于二叉树是非线性结构，因此，树的遍历实质上是将二叉树的各个结点转换成为一个线性序列来表示。
设L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树，则对一棵二叉树的遍历有三种情况：DLR（称为先根次序遍历），LDR（称为中根次序遍历），LRD （称为后根次序遍历）。

4.二叉树的构建
这里写图片描述

//设置非法值‘#’，若遇到‘#’则表示为叶子节点，无孩子节点
Node* _CreateTree(T* a, size_t size, const T& invalid, size_t& index)
        {
            Node* NewNode = NULL;
            if (index < size && a[index] != invalid)
            {
                NewNode = new Node(a[index]);
                NewNode->_left = _CreateTree(a, size, invalid, ++index);
                NewNode->_right = _CreateTree(a, size, invalid, ++index);
            }
            return NewNode;
        }

递归实现，每构建一个节点为一个栈帧，每当左右子树都构建完毕时，栈帧才销毁。

下面通过具体代码来理解二叉树的一些应用：

#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;

template<class T>
struct BinaryTreeNode
{
    typedef BinaryTreeNode<T> Node;
    T _data;//数据
    Node* _left;//左孩子
    Node* _right;//右孩子
    BinaryTreeNode(const T& x)
        :_data(x)
        , _left(NULL)
        , _right(NULL)
    {}
};

template<class T>
class BinaryTree
{
    typedef BinaryTreeNode<T> Node;
public:
    BinaryTree()
        :_root(NULL)
    {}
    BinaryTree(T *a, size_t size, const