斐波那契数列时间复杂度分析

本文分析了递归解法求斐波那契数列的时间复杂度问题,指出其效率低下,并提出两种优化方案:迭代法(O(n)时间复杂度)和矩阵快速幂(O(logn)时间复杂度)。通过避免重复计算和利用矩阵乘法,显著提高了计算速度。

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摘自链接:

题目:定义Fibonacci数列如下:

        /  0                      n=0
f(n)=      1                      n=1
        \  f(n-1)+f(n-2)          n=2

输入n,用最快的方法求该数列的第n项。

分析:在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候,都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉,看到题目就能写出如下的递归求解的代码。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
      int result[2] = {0, 1};
      if(n < 2)
            return result[n];

      return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

但是,教科书上反复用这个题目来讲解递归函数,并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10),需要求得f(9)f(8)。同样,要求得f(9),要先求得f(8)f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系

                  f(10)
                     

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