Determining watersheds in digital pictures via flooding simulations 论文翻译

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该篇是论文《Determining watersheds in digital pictures via flooding simulations》的翻译版本，里面可能有很多翻译不到位的地方，希望各位谅解，最好是对照原文进行看，以更好的正确理解文章的真意。

摘要

分水岭变换是数学形态学提供的一种非常强大的图像分析工具。然而，现有的分水岭算法要么过于耗时，要么不够精确。本文的目的是介绍一种新的、可行的转换实现方法。它基于图像的渐进泛洪，适用于n维图像。像素首先按其灰度值的递增顺序排序。然后，对连续的灰度级进行处理，以模拟flooding的传播。分布排序技术与每个灰度级的宽度优先扫描相结合，使得计算速 度非常快。此外，由于该算法可以处理任何类型的数字网格，并且其对一般图的扩展也很简单，因此该算法非常通用。它对图像分割的兴趣体现在从有噪声的图像中提取几何形状、分离三维重叠粒子以及在图像和图形上使用分水岭分割数字高程模型(a digital elevation mode)。

1 介绍

在图像分析领域，尤其是数学形态学(MM)[20,21]中，通常将灰度图看作是地形图面，像素的灰度级代表其高地。这种表示方法用于更好地理解给定变换对所研究图像的影响。现在，让一滴水落在这样的地形表面。根据万有引力定律，它会沿着最陡的斜坡向下流动，直到达到最小值。地表最陡坡径达到给定最小值的所有点构成与此最小值相关的集水区盆地。分水岭是划分相邻流域盆地的区域。
正如人们所预料的那样，第一个分水岭算法是从数字高程模型(DEMs)[9]中提取地形划分。不幸的是，这个算法通常会导致较差的结果，正如[ 8,23]所解释的那样。同时，在独立于数字地形研究的基础上，对图像处理领域的分水岭变换进行了研究。该方法首次由Ch. Lantuejoul{14]提出，他后来与S. Beucher共同改进[2,3,4]。分水岭变换是MM提供的最强大的轮廓检测和图像分割工具之一[6,27,7]。许多算法已经被提出从数字图像中提取分水岭。事实证明，它们要么速度过慢(尤其是在传统计算机上)，要么甚至更糟——不准确[28]。在这里，我们介绍了一个新的和多用途的分水岭变换，适用于各种离散空间。在§2中，结果表明，基于洪水模拟的分水岭划分比基于最陡坡道的分水岭划分更适合于流域的形式化，在§ 3中，介绍了我们的实现，并详细介绍了它的两个主要步骤，排序和洪泛（注水）过程。然后，在§4中讨论了该算法的性能和优点。最后，§ 5用于一些应用程序，说明我们的算法在图像分割中的效率。

2 根据洪泛模拟定义watersheds

对数字函数分水岭概念的仔细研究表明，很难给出一个明确的定义。例如，当多个最陡的斜坡路径出现时，高原(台地)上的流向如何?此外，在处理离散函数时，最陡斜率路径的概念不适用于流域的实际实现，因为在数字函数[17]上不存在决定水滴遵循哪条路径的规则。在本节中，我们展示了通过洪水模拟来定义流域克服了这些困难。它可以被看作是一个算法定义，因为它允许开发一个精确的、通用的算法来计算分水岭变换(参见§3)。所有这些定义都是为n维图像制定的，但为了更方便起见，figures和一些解释是在2维的情况下给出的。
我们考虑一个N维灰度图I，其定义域记为DI，I取区间[0, N]内的离散值,N为任意正整数:

设G表示底层数字网格，它只是Zn x Zn的子集,我们记 NG§表示一个像素p关于G的邻域集合：

定义1 DI中两个像素点p和q之间长度为l的路径P是

给定路径P的长度记为l§。
定义 2 ：I高度h处的最小M是一个像素与h值相连的高原，其外边界像素值严格大于h。
根据这些初步的定义，我们现在将以洪水模拟的方式呈现分水岭[4,3]。假设函数的极小值按其灰度值的递增顺序排序，并在最低海拔处开始逐步淹没最小值的盆地。当水位达到第二个最小水位时，我们同时淹没两个流域，直到达到第三个最小水位，以此类推。此外，在来自两个不同盆地的水将合并的地方建立水坝(见图1)。在这一过程的末尾，每个最小值都被水坝完全包围，水坝将其相关联的流域划分开来。由此得到的大坝群对应于分水岭，并提供了I在不同流域的镶嵌。

图1:在两个不同的极小值处建造水坝
为了更形式化地表示这种泛洪模拟，表示灰度图像I在其域DI上取的最小值hmin，最大值hmax。其中，Th(I)为I 在h级的阈值：

我们也表示C(M)流域与最小M和Ch(M)流域相关的子集，该流域由海拔较低或等于h的点组成:

最后，Min (I)是指高度h处属于极小值点的集合。
现在我们需要回顾测地线距离[15,16]和测地线影响带的定义。假设A是一个单连通的集合。
定义3 A中x和y两个pixel