希尔排序

参考：希尔排序、希尔排序学习

希尔排序介绍

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种，它是针对直接插入排序算法的改进。该方法又称缩小增量排序，因DL．Shell于1959年提出而得名。

希尔排序实质上是一种分组插入方法。它的基本思想是：对于n个待排序的数列，取一个小于n的整数gap(gap被称为步长)将待排序元素分成若干个组子序列，所有距离为gap的倍数的记录放在同一个组中；然后，对各组内的元素进行直接插入排序。 这一趟排序完成之后，每一个组的元素都是有序的。然后减小gap的值，并重复执行上述的分组和排序。重复这样的操作，当gap=1时，整个数列就是有序的。

希尔排序说明

假设待排序文件有10个记录，其关键字分别是：
        49，38，65，97，76，13，27，49，55，04。
增量序列的取值依次为：
        5，3，1

希尔排序动态模拟演示

希尔排序gap步长的选取

增量序列的选择
    　Shell排序的执行时间依赖于增量序列。
    　好的增量序列的共同特征：
　　① 最后一个增量必须为1；
　　② 应该尽量避免序列中的值(尤其是相邻的值)互为倍数的情况。
    　有人通过大量的实验，给出了目前较好的结果：当n较大时，比较和移动的次数约在到之间。

增量的选择影响到排序的时间！

希尔排序的实现

希尔排序的实现（算法：C语言实现 P172）

void shellSort(Item a[], int l, int r)
{
	int i, h, k;
	for(h=1; h<=(r-l)/9; h=3*h+1);		//根据待排序的元素数，决定希尔增量的最大值
	for(; h>0; h/=3)	//外层循环为增量递减
	{
		for(i=l+h; i<=r; i++)
		{
			int j=i;
			Item v = a[i];
			while(j>=l+h && less(v, a[j-h]))
			{
				a[j]=a[j-h];
				j -= h;
			}
			a[j] = v;
		}
	}	
}

Ps：这里采用的希尔增量是从1开始，通过乘3加1得到下一个步长。但在程序实现中，是先通过l和r来确定增量的最大值。

网上通用的希尔增量是2的倍数，如1 2 4 8 16 32 64……，但是书上说，这是不好的步长序列，直到最后一遍，步长为1时，在奇数位置的元素才会与偶数位置上的元素进行比较。

只需要修改上面程序中产生步长的外部循环。

希尔排序的完成实现代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef int Item;
#define key(A) (A)
#define less(A, B) (key(A)<key(B))
#define exch(A, B) {Item t = A; A = B; B = t;}
#define compexch(A, B) if(less(B, A)) exch(A, B)	//最后A<B
/*
希尔排序：i下标元素前面是已经排过序的
*/
void selection(Item a[], int l, int r)
{
	int i, j;
	for(i=l; i<r; i++)
	{
		int min = i;	//用于存放选择时候扫描的最小值
		for(j=i+1; j<=r; j++)
		{
			if(less(a[j], a[min])) min=j; 
		}
		exch(a[i], a[min]);
	}
}
void shellSort(Item a[], int l, int r)
{
	int i, h, k;
	for(h=1; h<=(r-l)/9; h=3*h+1);		//根据待排序的元素数，决定希尔增量的最大值
	for(; h>0; h/=3)	//外层循环为增量递减
	{
		for(i=l+h; i<=r; i++)
		{
			int j=i;
			Item v = a[i];
			while(j>=l+h && less(v, a[j-h]))
			{
				a[j]=a[j-h];
				j -= h;
			}
			a[j] = v;
		}
		printf("\n增量为%d，排序后\n", h);
		for(k=l; k<r; k++)
		{
			printf("%d ", a[k]);
		}
	}	
}

int main(void)
{
	int i, N, sw;	
	N = 50;
	sw = 1;
	int *a = (int *)malloc(N*sizeof(int));	//为数据a分配相应的存储空间
	if (sw)
	{
		for(i=0; i<N; i++)
		{
			a[i] = 1000 * (1.0 * rand()/RAND_MAX);
		}
	}
	else
	{
		for (i = 0; i < N; i++)
		{
			scanf("%d", &a[i]);
		}
	}
	puts("排序前");
	for(i=0; i<N; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	shellSort(a, 0, N-1);
	puts("\n排序后");
	for(i=0; i<N; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

希尔排序的时间复杂度和稳定性分析

希尔排序时间复杂度

希尔排序的时间复杂度与增量(即，步长gap)的选取有关。例如，当增量为1时，希尔排序退化成了直接插入排序，此时的时间复杂度为O(N²)，而Hibbard增量的希尔排序的时间复杂度为O(N3/2)。

希尔排序稳定性

希尔排序是不稳定的算法，它满足稳定算法的定义。对于相同的两个数，可能由于分在不同的组中而导致它们的顺序发生变化。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！

希尔排序的分析

Shell排序的时间性能优于直接插入排序
    　希尔排序的时间性能优于直接插入排序的原因：
　　①当文件初态基本有序时直接插入排序所需的比较和移动次数均较少。
　　②当n值较小时，n和的差别也较小，即直接插入排序的最好时间复杂度O(n)和最坏时间复杂度0()差别不大。
　　③在希尔排序开始时增量较大，分组较多，每组的记录数目少，故各组内直接插入较快，后来增量逐渐缩小，分组数逐渐减少，而各组的记录数目逐渐增多，但由于已经按作为距离排过序，使文件较接近于有序状态，所以新的一趟排序过程也较快。
    　因此，希尔排序在效率上较直接插人排序有较大的改进。