分治法详解与应用-优快云博客

面试笔试算法系列之分治法

分治法：顾名思义乃是分而治之的意思，将一个大规模的问题分成若干个小规模的子问题。其中每个子问题是相对独立的,小规模情况下容易解。

问题举例：

1.快速排序

快速排序由C. A. R. Hoare在1962年提出。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

面试中经常会要求写出快速排序的代码，一段简洁代码如下:

void Qsort(int a[], int low, int high)
{
  if(low >= high)
  {
      return;
  }
  int first = low;
  int last = high;
  int key = a[first];/*用字表的第一个记录作为枢轴*/

  while(first < last)
  {
      while(first < last && a[last] >= key)
      {
          --last;
      }

      a[first] = a[last];/*将比第一个小的移到低端*/

      while(first < last && a[first] <= key)
      {
          ++first;
      }

      a[last] = a[first];    
/*将比第一个大的移到高端*/
  }
  a[first] = key;/*枢轴记录到位*/
  Qsort(a, low, first-1);
  Qsort(a, first+1, high);
}

我们举例 57, 68, 59, 52, 72, 28, 96, 33, 24，上述代码的过程主要是设置一个first指针和last指针，分别指向比key小的值和比key大的值，上述代码的过程简洁，但是代码细节过强。

使用Partition函数进行分治快排

int Partition(int* data,int length,int start,int end){
if(data==NULL||length<0||start<0||end>length-1)
    exit(0);

//数组中随机选取一个数字，将数组分为两组，左边的比该数字小，右边的比该数字大
int index = Random(start,end);

//放到最后的位置,以便和所有的数进行比较 
Swap(&data[end],&data[index]);

//定义一个small，指向当前比选中数(现在的位置是data[end])小的数
int small = start-1; 
for(int index = start;index < end;index++){
    if(data[index]<data[end]){
        //找到一个比选中数小的数
        small++;
        //判断当前位置index和small所指的位置是否相等
        if(index!=small){
            Swap(&data[index],&data[small]);
        } 
    } 
} 
//定位到新的位置，把选中的数放回去 
small++;
Swap(&data[small],&data[end]); 
return small;
}

这个使用Partition函数的快速排序过程如下图所示，

Markdown

2.找出数组中出现次数大于一半的数字

该问题可以使用一个Partition分治函数去解决，寻找对应中间位置的数字，即为所需数字,源码如下


#include <iostream>


#include <stdlib.h>


#include <time.h> 

using namespace std;


void Swap(int *a,int *b){
int temp=*a;
*a = *b;
*b=temp;
} 



int Random(int start,int end){
srand((unsigned)time(NULL)); 
return start+(int)(rand()%(end-start+1));
}

int Partition(int* data,int length,int start,int end){
if(data==NULL||length<0||start<0||end>length-1)
    exit(0);

//数组中随机选取一个数字，将数组分为两组，左边的比该数字小，右边的比该数字大
int index = Random(start,end);

//放到最后的位置,以便和所有的数进行比较 
Swap(&data[end],&data[index]);

//定义一个small，指向当前比选中数(现在的位置是data[end])小的数
int small = start-1; 
for(int index = start;index < end;index++){
    if(data[index]<data[end]){
        //找到一个比选中数小的数
        small++;
        //判断当前位置index和small所指的位置是否相等
        if(index!=small){
            Swap(&data[index],&data[small]);
        } 
    } 
} 
//定位到新的位置，把选中的数放回去 
small++;
Swap(&data[small],&data[end]); 
return small;
}

void QuickSort(int data[],int length,int start,int end ){
    if(start==end)
        return;

int index = Partition(data,length,start,end);   
if(index>start){
    QuickSort(data,length,start,index-1);
}
if(index<end){
    QuickSort(data,length,index+1,end);
}

} 

//寻找数组中出现次数超过一半的数字
int findMoreThanHalf(int* data,int length,int start,int end){
int middle = length/2;
int index = Partition(data,length,start,end);
while(index!=middle){
    if(index>middle){
        end = index-1;
        index = Partition(data,length,start,end);
    }else{
        start = index+1;
        index = Partition(data,length,start,end);                       
    }
}
return data[index];
}


int main(){
srand((unsigned)(time(NULL)));
int length = Random(1,20);
int data[length];
  int start =1;
int end =1000;
for(int i=0;i<length;i++){
    data[i]=start+(int)(rand()%(end-start+1));
}
  int data[10] ={12,34,54,54,67,54,2,54,54,54};
  int length=10;
for(int i=0;i<length;i++){
    cout<<data[i]<<" ";
}
printf("\n");
cout<<"中位数是"<<findMoreThanHalf(data,length,0,length-1)<<endl; 

QuickSort(data,length,0,length-1);
for(int i=0;i<length;i++){
    cout<<data[i]<<" ";
}

return 0;
}