E - Loppinha, the boy who likes sopinha(记忆化搜索)

原题地址:https://codeforces.com/gym/101875/problem/E

题意:给出一个$01$串,连续的$num$个$1$需要消耗能量$(num+1)\ast num/2$,现在你有$k$克能量,问你最少需要把多少个$1$换成$0$,才能使得你的能量足够。

思路：这题一开始以为是贪心，但是由于能量消耗是成一个等差数列，所以贪心策略并不可行。然后可以观察到01串的总长度最大只有450，所以考虑记忆化搜索。

定义$dp[i][j]$表示当前处理完了前$i$个数字，还剩下$j$次换的机会，后面$(n-i)$个数字还需要消耗的能量。

#include <bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,(rt<<1)+1
#define CLR(x,y) memset((x),y,sizeof(x))
#define fuck(x) cerr << #x << "=" << x << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int seed = 131;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, k;
int a[maxn];
int dp[505][505];//dp[i][j]表示处理了前i个数字,然后还可以换j次,i个数字后还所需要消耗的能量
int cal(int num) {
    return num * (num + 1) / 2;
}
//递归边界是刚好处理完n个数字,并且要求k>=0
int dfs(int p, int k) {//前p个数字,换k次
    if (k < 0) return INF;
    if (p == n) return 0;
    if (dp[p][k] != -1) return dp[p][k];
    if (a[p] == 0) return dfs(p + 1, k);//为0就肯定不用换,继续递归
    int i = 0;
    dp[p][k] = INF;//先初始化为INF
    for (i = p; i < n && a[i] == 1; i++) {//当有一个位置为0的时候跳出循环
        dp[p][k] = min(dp[p][k], dfs(i + 1, k - 1) + cal(i - p));//考虑将第i个1换成0
    }
    dp[p][k] = min(dp[p][k], dfs(i + 1, k) + cal(i - p));//第i位置是0
    return dp[p][k];
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%1d", &a[i]);
    CLR(dp, -1);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (dfs(0, i) <= k) {
            printf("%d\n", i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}