算法学习十六----求最大公约数

题目：求最大公约数

用辗转相除法求最大公约数的解法相信大家都很熟悉，就是用大数除以小数，然后取出余数与之前较小的数再递归地进行同样的操作，直到其中一个数为0。

但是这样的除法在遇到大整数的时候作除法非常地耗时，这样对效率方面有很大的影响。

设两个数为x,y

采用辗转相除法的分析，如果一个数能够同时正处x和y，则必能同时整除x-y和y;而能够同时整除x-y和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与x-y与y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，即f(x,y)=f(x-y,y)，那么就可以不再需要进行大整数的取模运算，而转换成简单得多的大整数减法。

但是，如果遇到大整数的时候，要做减法就要进行很多次迭代，所以还有改进的地方。

接下来分析公约数的特点：

对于y和x来说，如果y=k*y1，x=k*x1。那么有f(y,x) = k*f(y1,x1)

如果x=p*x,假设p是素数，并且y%p!=0，那么f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y)

我们还知道2是一个素数，而且对于大整数而言，可以很容易地将除以2/乘以2的运算转换成移位运算，从而避免了大整数除法，以下做分析：

p=2

若x,y均为偶数，f(x,y) = 2*f(x/2, y/2) = 2*f(x>>1, y>>1)

若x为偶数，y为奇数，f(x,y) = f(x/2, y) = f(x>>1, y)

若x为奇数，y为偶数，f(x,y)=f(x,y/2)=f(x,y>>1)

若x，y均为奇数，f(x,y)=f(y, x-y),那么x-y就是一个偶数，所以下一步递归一定会有除以2的操作。

算法伪代码：

/*
*count max common divisor
*/
int mcd(int x, int y)
     if x < y
          then return mcd(y, x)
     else if y == 0
          then return x
     if x is even
          if x is even && y is even
          //x >> 1 equals x/2
               then return (mcd(x >> 1, y >> 1) >> 1)
          else return mcd(x >> 1, y)
     if x is not even && y is even
          then return mcd(x, y >> 1)
     else return mcd(y, x-y)

C++实现

int mcd(int x, int y)
{
	//if x < y
	if(x < y)
	{
		//then return mcd(y, x)
		return mcd(y, x);
	}//else if y == 0
	else if(y == 0)
	{
		//then return x
		return x;
	}
	else
	{
		//if x is even
		if(isEven(x))
		{
			//if x is even && y is even
			if(isEven(y))
			{
				//x >> 1 equals x/2
				//return (mcd(x >> 1, y >> 1) >> 1)
				return (mcd(x >> 1, y >> 1) << 1);
			}
			else
			{
				//else return mcd(x >> 1, y)
				return mcd(x >> 1, y);
			}
		}
		else
		{
			//if x is not even && y is even
			if(isEven(y))
			{
				//then return mcd(x, y >> 1)
				return mcd(x, y >> 1);
			}
			else
			{
				//else return mcd(y, x-y)
				return mcd(y, x-y);
			}
		}
	}
}