泊松分布卡片-python实现

泊松分布简要实例

泊松分布 Poisson Probabilities用于描述一种分布：已知给定区间内事件的平均发生次数 𝜆 ，推断在给定区间内事件的发生次数，区间可以是时间也可以是空间。
泊松分布的期望与方差均为 𝜆。

比如统计数据表明一台机器平均1周故障 𝜆 次，那么接下来一周的故障次数满足以下规律：
$$P(x=k)={\frac{e^{-\lambda }\lambda }{k!}}^k$$

比如 λ=3，则下周故障4次的概率为 $P(k=4)=e^{-3}\cdot 3^4/4!=0.1680$
扩展：如果例子中是推测后3周故障次数为k的概率，则可认为3周的平均故障次数为 3𝜆 , 这时分布可以描述为：
$$P(x=k)=\frac{e^{-3\lambda }(3\lambda {)}^k}{k!}$$

举例

scipy.stats 中有poisson模块，可以方便的计算各种参数：

po = stats.poisson(mu) #用于构造均值与μ的泊松分布；
po.pmf(k, mu, loc=0) # Probability mass function. 概率质量函数；
po.cdf(k, mu, loc=0) #Cumulative distribution function.累积分布函数；
po.ppf(q, mu, loc=0)# Percent point function 百分点函数（cdf的倒数-百分位数）。

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
# 支持中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号

mu = 3
x = np.arange(18)
po = stats.poisson(mu) 	# 构造平均次数mu的泊松分布
p = po.pmf(x)			# 计算各次下的概率
# 作图
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.stem(x,p,basefmt='k',label='故障次数概率');
ax.set_xlabel('随机变量：机器故障k次');
ax.set_ylabel('发生概率');
ax.set_title(f'泊松分布：平均值$\mu$ ={mu}');

ax2=plt.twinx()
y=stats.poisson.cdf(x,mu) #计算各次下的累积概率
ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
ax.legend(loc=(0.7,0.8));
ax2.legend(loc=(0.7,0.7))

输出累积概率为95%的次数

po.ppf(0.95)

值为6。

泊松分布近似正态分布

在 𝜆 较大时，泊松分布近似正态分布，比如 𝜆=100 ，示意如下：

mu = 100
x = np.arange(500)
po = stats.poisson(mu)
p = po.pmf(x)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

line1 = ax.bar(x,p,label='故障次数概率');
ax.set_xlabel('随机变量：机器故障k次');
ax.set_ylabel('发生概率');
ax.set_title(f'泊松分布：平均值$\mu$ ={mu}');

ax2=plt.twinx()
y=stats.poisson.cdf(x,mu)

line2 = ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
ax.legend(loc=(0.7,0.8));
ax2.legend(loc=(0.7,0.7))
ax.set_xlim(1,200)