计算π的值（难度系数：半颗星）

最新推荐文章于 2024-10-25 03:02:16 发布

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最新推荐文章于 2024-10-25 03:02:16 发布 · 1.2w 阅读

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这篇博客介绍了一种计算π值的精确方法，要求精度达到0.0000000001，当某项小于这个值时停止迭代。文中提供了一个参考代码，并将最终结果精确到小数点后9位。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

根据以下公式求π的值(要求精度0.0000000001，即某项小于0.0000000001时停止迭代)。这里写图片描述

输出结果精确到小数点后9位。

参考代码：

#include <stdio.h>

#define eps 0.0000000001

int main()
{
    double fenzi = 1;
    double fenmu = 3;
    double sum = 1;
    int nFeiziFactor = 1;
    int nFenMuFacotr =

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26．请编写一个函数fun，它的功能是：根据以下公式求π的值(要求满足精度0.0005，即某项小于0.0005时停止迭代)：程序运行后，如果输入精度0.0005，则程序输出为3.14…。 #include <stdio.h> double fun(double d){ double i=1,t; int n=2; double s=1;//右式求和 while(i>=d){ t=(double)(n-1)/(2*n-1); i*=t; s+=i; n++;

流形拓扑学：万有系数定理

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求π的值时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB 提交数: 520 通过数: 115 【题目描述】根据公式：定义函数arctanx(x)，求当最后一项小于10-6时π的值。【输入】（无）【输出】 π的值。【输入样例】（无）【输出样例】（无）【来源】 No

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近期遇到很多用概率论求π值得问题，在此写文总结一下下。方法一：（2014年深度学习算法研发工程师笔试题）此方法是百度的多次面试加笔试题。看往年笔试题遇到。题目如下：在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(la)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++,

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AI天才研究院

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《数学与边缘计算：分布式计算的数学框架》在当今这个数据爆炸的时代，边缘计算已经成为推动技术创新和产业变革的重要力量。边缘计算通过在数据产生的地方（即边缘）进行数据处理，不仅提高了系统的响应速度，还显著降低了网络带宽的使用。然而，边缘计算的实现离不开坚实的数学基础。本文旨在探讨数学在边缘计算中的关键作用，通过分布式计算的数

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修改百位上的值（难度系数：半颗星）

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输入一个大于100的整数，把原数的百位改成6，输出修改后的数（如果原来百位已经是6直接输出）。例如：输入：123456 输出：123656方法1：把数的百位取出，然后加上和6的差值乘以100就可以了参考代码：#include <stdio.h>int main() { int n, temp; scanf_s("%d", &n); printf("修改前：\n");

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<think>我们讨论的是在FPGA上实现数字滤波器，但用户现在的问题是：如何在没有MATLAB的情况下，使用FPGA来计算数字滤波器的系数？注意，通常滤波器系数是在设计阶段通过软件（如MATLAB）计算好，然后加载到FPGA中的。但用户希望用FPGA来计算系数，这通常不是FPGA的典型应用场景，因为系数计算通常是一次性的设计过程，而不是实时运行时的任务。不过，我们可以探讨在FPGA上实现系数计算的可行性。根据引用[3]，设计流程中包括使用MATLAB的FDAtool来确定滤波器参数并导出系数。如果用户没有MATLAB，可以使用其他开源工具（如Python的SciPy）来设计滤波器并生成系数。但是，如果用户坚持要在FPGA上计算系数，那么我们需要考虑在FPGA上实现滤波器设计算法。然而，在FPGA上计算滤波器系数是一个复杂的任务，因为设计过程中可能涉及迭代优化、求解多项式方程等。对于FIR滤波器，窗函数法或等波纹设计法（如Remez算法）都需要大量的浮点运算和迭代，这在FPGA上实现起来非常复杂，且资源消耗大。不过，对于某些简单滤波器（如固定阶数的窗函数法FIR设计），我们可以在FPGA上实现系数的计算。下面我们将讨论两种可能的方法： 1. **窗函数法设计FIR滤波器**：窗函数法的步骤： a. 根据目标频率响应计算理想滤波器的单位冲激响应（通常是无限长且非因果的）。 b. 将无限长序列截断为有限长（加窗），并移位使其因果。例如，设计一个低通滤波器，截止频率为$f_c$，采样频率为$f_s$，则理想低通滤波器的单位冲激响应为： $$ h_d[n] = \frac{2f_c}{f_s} \cdot \text{sinc}\left(2\pi f_c \left(n - \frac{N-1}{2}\right)/f_s\right) \quad \text{for } n=0,1,\dots,N-1 $$ 然后乘以窗函数（如汉明窗）得到实际系数： $$ h[n] = h_d[n] \cdot w[n] $$ 在FPGA上实现上述计算，需要： - 计算sinc函数（可以使用查找表或CORDIC算法） - 乘法器（用于窗函数）但是，由于涉及浮点运算和超越函数，FPGA实现需要定点化或浮点IP核，且资源消耗较大。 2. **固定系数的IIR滤波器设计**：对于IIR滤波器，设计过程更为复杂，通常需要将模拟滤波器转换为数字滤波器（如双线性变换），这需要求解差分方程系数。在FPGA上实现这样的设计过程非常困难。因此，通常的做法是：在外部计算机上设计好滤波器系数，然后将系数存储在FPGA的ROM中（如引用[2]和[3]所述）。如果用户需要在FPGA上动态生成不同参数的滤波器系数（例如，截止频率可调），那么可以预计算多组系数存储在ROM中，或者实现一个简化的系数生成器（如上面提到的窗函数法）。下面给出一个在FPGA上实现窗函数法生成FIR滤波器系数的示例步骤： **步骤1：参数设置** - 滤波器阶数$N$（奇数） - 归一化截止频率$f_c / (f_s/2)$（0到1之间） **步骤2：计算理想滤波器响应** - 中心点：$n_0 = (N-1)/2$ - 对于每个$n$（从0到$N-1$）： $$ h_d[n] = 2 \cdot (f_c / f_s) \cdot \text{sinc}(2 \cdot f_c / f_s \cdot (n - n_0)) $$ **步骤3：应用窗函数** - 例如汉明窗：$ w[n] = 0.54 - 0.46 \cdot \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right) $ - $ h[n] = h_d[n] \cdot w[n] $ **步骤4：量化系数** - 将浮点系数转换为定点数（如Q格式）在FPGA中，我们可以用状态机控制一个计算单元，按顺序计算每个$n$对应的系数。计算sinc函数可以使用查找表（LUT）存储sinc函数值，或者使用CORDIC算法计算正弦函数（因为sinc函数是正弦函数除以自变量）。然而，由于计算量较大，且通常只需要在参数改变时计算一次，因此可以在FPGA上使用一个低速的串行计算单元来实现，这样节省资源。 **代码示例（Verilog伪代码）**：假设我们使用查找表存储sinc函数（预先存储一定范围内的sinc函数值，通过插值得到其他点），以及余弦函数值用于窗函数。由于实现完整代码非常长，这里给出一个简化的框架： ```verilog module coeff_gen ( input clk, input reset, input [15:0] fc, // 归一化截止频率，例如用16位整数表示0~1（对应0~65535） input start, // 开始计算 output reg [31:0] coeff_out, // 输出系数（定点数） output reg done // 计算完成 ); reg [15:0] n; // 计数器，0到N-1 parameter N = 64; // 滤波器阶数 reg [31:0] n0 = (N-1)/2; // 中心点，需要根据N计算 // 存储窗函数的余弦表（用于汉明窗） reg [15:0] cos_table [0:N-1]; initial begin // 初始化窗函数的余弦表：cos(2*pi*n/(N-1))，量化到0~65535（0~2pi映射到0~65535） for (integer i=0; i<N; i=i+1) begin real angle = 2 * 3.1415926 * i / (N-1); // 将[-1,1]映射到[0,65535]，实际使用时需要调整 cos_table[i] = (1 << 15) * (1 + cos(angle)); // 示例，具体量化方式需设计 end end // 状态机 reg [2:0] state; always @(posedge clk) begin if (reset) begin state <= 0; done <= 0; n <= 0; end else begin case (state) 0: if (start) begin n <= 0; state <= 1; end 1: begin // 计算hd[n] // 计算 (n - n0) -> 得到偏移量 // 计算 2*fc/fs*(n-n0) -> 注意归一化 // 查找sinc表（需要将偏移量作为地址索引） // 计算hd[n] = 2*(fc/fs)*sinc_value // 这里需要多个时钟周期，假设使用流水线 state <= 2; end 2: begin // 应用窗函数 // 从cos_table中取出cos值，计算窗函数值w[n] = 0.54 - 0.46 * (cos_table[n]的浮点表示) // 然后计算h[n] = hd[n] * w[n] state <= 3; end 3: begin coeff_out <= ...; // 输出系数 n <= n + 1; if (n == N-1) begin done <= 1; state <= 0; end else state <= 1; end endcase end end endmodule ``` 注意：上述代码只是一个概念框架，实际实现需要解决很多问题，如浮点运算的定点化、超越函数的计算（sinc和cos）的精度和资源消耗、流水线设计等。 **替代方案**：如果用户需要动态改变滤波器参数，但又不希望实时计算系数，可以预先生成多组系数存储在FPGA的ROM中，然后根据控制信号选择不同的系数集。 **总结**：在FPGA上计算滤波器系数是可行的，但通常只适用于简单的滤波器设计方法（如窗函数法），且需要消耗较多的逻辑资源和存储资源。对于复杂的滤波器设计（如等波纹最佳逼近），建议在外部计算好系数后加载到FPGA。如果用户没有MATLAB，可以使用Python等开源工具计算系数，然后导出为COE文件供FPGA使用（引用[3]的方法）。相关问题： 1. 在FPGA上实现滤波器系数计算有哪些优化方法？ 2. 如何平衡滤波器系数计算的精度和资源消耗？ 3. 除了窗函数法，还有哪些滤波器设计方法适合在FPGA上实时计算系数？ 4. 如何将浮点系数量化为定点数以供FPGA使用？</think>### 如何使用FPGA计算数字滤波器系数 #### 一、核心设计原理在FPGA中计算滤波器系数需要实现数字滤波器设计算法的硬件化，核心是通过**可编程逻辑架构**实现传统软件设计流程中的数学运算。关键原理包括： 1. **算法映射关系** $$ H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}} $$ 需将系数计算转化为**并行化硬件运算**，涉及： - 超越函数计算（sinc, Bessel等） - 矩阵运算（特征方程求解） - 迭代优化（Remez交换算法）[^1] 2. **硬件友好型算法选择** | 算法类型 | FPGA实现难度 | 适用场景 | |----------------|-------------|------------------| | 窗函数法 | ★★☆ | 任意形状响应 | | 巴特沃斯逼近 | ★★★ | 最大平坦响应 | | 切比雪夫逼近 | ★★★★ | 陡峭过渡带 | | 椭圆函数法 | ★★★★★ | 最优过渡带 | #### 二、窗函数法系数计算实现（以汉宁窗为例） ```verilog module fir_coeff_gen ( input clk, input [15:0] fc, // 归一化截止频率(0.0-1.0) input [7:0] N, // 滤波器阶数 output reg signed [23:0] coeff [0:255] // 系数存储器 ); reg [31:0] pi = 32'h3243F6A8; // π的Q8.24定点表示 integer n; always @(posedge clk) begin for (n = 0; n <= N; n = n+1) begin // 1. 计算理想低通响应 reg signed [47:0] hd; if (n == N/2) begin hd = {fc, 24'b0}; // hd(0) = 2fc end else begin reg [47:0] tmp = (n - N/2) * pi; hd = (2*fc) * sinc(tmp); // 调用sinc函数模块 end // 2. 应用汉宁窗 reg [31:0] w = 32768 - (32768 * cos(2*pi*n/N)) >> 1; // Q15窗函数值 // 3. 系数量化 coeff[n] = (hd * w) >> 32; // Q8.16格式输出 end end // Sinc函数计算模块 function [47:0] sinc(input [47:0] x); begin if (|x == 0) sinc = 48'h1000000; // x=0时返回1.0(Q24) else sinc = sin(x) / x; // 调用CORDIC正弦模块 end endfunction endmodule ``` [^1] #### 三、巴特沃斯滤波器系数计算采用双线性变换实现模拟到数字域的转换： 1. **设计流程** ```mermaid graph LR A[确定阶数N] --> B[计算极点位置] B --> C[双线性变换] C --> D[系数量化] ``` 2. **极点计算公式** $$ s_k = \omega_c e^{j(\frac{\pi}{2} + \frac{2k-1}{2N}\pi)} \quad k=1,2,...,N $$ 3. **FPGA实现关键** ```verilog // 极点位置计算模块 for (k=0; k<N; k=k+1) begin angle = (PI/2) + PI*(2*k+1)/(2*N); real_part = wc * cos(angle); imag_part = wc * sin(angle); end // 双线性变换 denom_coeff[k] = (4 - 2*real_part*T) / (4 + 4*real_part*T + T*T*(real_part*real_part + imag_part*imag_part)); ``` #### 四、实时可调系数生成实现动态参数调整的滤波器架构： ```verilog module tunable_filter ( input clk, input [15:0] fc, // 实时截止频率 input [7:0] order, // 实时阶数选择 output [23:0] b_coeff [0:7], output [23:0] a_coeff [0:7] ); // 系数计算引擎 coeff_core u_core ( .clk(clk), .param_update(1'b1), .fc(fc), .order(order), .b_out(b_coeff), .a_out(a_coeff) ); // 滤波器执行单元 fir_filter u_filter ( .clk(clk), .b_coeff(b_coeff), .a_coeff(a_coeff), .in(data_in), .out(data_out) ); endmodule ``` [^2] #### 五、关键优化技术 1. **计算精度控制** - 采用**Q格式定点数**：Q8.16表示±128范围, 精度1/65536 - 误差控制公式： $$ \epsilon < \frac{1}{2^{B-1}} \quad (B=位宽) $$ 2. **超越函数加速** - CORDIC算法实现三角函数 - LUT+线性插值实现超越函数 ```verilog // 正弦函数近似 wire [15:0] sin_x = lut[addr] + (delta * slope[addr]); ``` 3. **并行计算架构** ```mermaid graph TB S[参数输入] --> P1[极点计算单元] S --> P2[零点计算单元] P1 --> M1[双线性变换] P2 --> M2[双线性变换] M1 --> C1[系数量化] M2 --> C2[系数量化] C1 --> COMB[系数组合] C2 --> COMB ``` #### 六、验证与调试方法 1. **系数自检流程** ```verilog // 系数对称性检查 for (int i=0; i<N/2; i++) begin if (coeff[i] != coeff[N-1-i]) $error("非对称系数错误"); end // 频响验证 initial begin apply_impulse(); if (response[0] != coeff[0]) $error("冲激响应不匹配"); end ``` 2. **资源消耗评估** | 操作 | LUT消耗 | DSP消耗 | 时钟周期 | |--------------|---------|---------|---------| | 32点sinc计算 | 1,200 | 4 | 18 | | 8阶极点计算 | 2,800 | 12 | 32 | | 实时更新 | 350 | 2 | 1 | #### 七、工程实践建议 1. **设计流程优化** ```mermaid graph TD A[算法浮点建模] --> B[定点化转换] B --> C[Verilog实现] C --> D[Modelsim仿真] D --> E[FPGA资源评估] E --> F[时序约束] F --> G[硬件验证] ``` 2. **资源权衡策略** - 低阶滤波器(≤8阶)：实时计算系数 - 高阶滤波器：预计算+系数存储 - 多参数系统：LUT缓存常用配置 3. **动态范围管理** - 自动缩放系数满足$\sum |h[n]| < 1$ - 溢出保护： ```verilog always @(posedge clk) begin if (&intermediate[30:23]) result <= 24'h7FFFFF; // 饱和处理 end ``` > 通过将滤波器设计算法映射为并行硬件架构，FPGA可实现实时系数计算。关键是在计算精度、资源消耗和实时性之间取得平衡，建议优先实现窗函数法和低阶IIR设计，再逐步扩展复杂算法[^3][^4]。 --- ### 相关问题 1. FPGA实现超越函数计算有哪些优化方法？ 2. 如何平衡滤波器系数计算的精度和资源消耗？ 3. 动态可调滤波器的实时性如何保障？ 4. 双线性变换在FPGA实现中有哪些特殊考量？ 5. 如何验证FPGA计算的滤波器系数正确性？