3D 快速行进算法(Fast Marching Method in 3D case)

最新推荐文章于 2023-09-10 01:16:01 发布

原创

最新推荐文章于 2023-09-10 01:16:01 发布 · 4.9k 阅读

17 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#快速行进算法 #三维重建

本文详细介绍了3D快速行进算法在求解Eikonal方程中的应用，特别是针对三维网格或Voxel环境的解决方案。通过分析不同情况下U与相邻节点的关系，推导出满足条件的解，并对比二维情况进行了讨论。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Intro

快速行进算法用来高效求解程函方程(Eikonal Equation) $F∥∇U∥=1F\Vert\nabla U\Vert = 1$ ， F为速度场函数( Velocity Field Function). 符号距离函数为这个方程的近似解，当 $F = 1$ 时，二维情况下 $F (x, y) = 1$ , 三维情况下 $F (x, y, z) = 1$ . 该方程为非线性偏微分方程，一般用数值方法也即有限差分来进行求解，其一阶有限差分近似为
$(max(Δ−xU,−Δ+xU,0))2+(max(Δ−yU,−Δ+yU,0))2=1/F(\text{max}(\Delta_{-x}U, -\Delta_{+x}U, 0))^2 + (\text{max}(\Delta_{-y}U, -\Delta_{+y}U, 0))^2 = 1 / F$
这个有限差分如何得到可以参考Osher或Sethian的著作。
三维情况下方程左侧再添加一项对 $z$ 的差分。

Derive solution

大多数博客只讨论了二维情况，对三维的考虑都是基于mesh，由于我这次做的项目使用的三维网格(or Voxel），以小立方体为单位。具体的解的推导有点不一样，但大部分类似。
考虑网格点 $i, j, k$ , 设 $Ux=min(Ui−1,j,k,Ui+1,j,k),Uy=min(Ui,j−1,k,Ui,j+1,k),Uz=min(Ui,j,k−1,Ui,j,k+1)U^x = \text{min}(U_{i - 1, j, k}, U_{i+1, j, k}), U^y = \text{min}(U_{i, j - 1, k}, U_{i, j + 1, k}), U^z = \text{min}(U_{i, j, k-1}, U_{i, j, k+1})$ 。
分以下几种情况考虑